Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Вероятности таких процессов в одну секунду определяются в первом
приближении с помощью известной формулы теории квантовых переходов
(золотое правило Ферми [5], § 93)
w = X I <кон IHini I нач> !2 6 (§к°н " §ню)- (34.37)
Применяя эту формулу к случаю испускания и поглощения электроном одного
фонона, получим, соответственно, в приближении эффективной изотропной
массы электрона
ртт
и>'$ = %\(к-Ч; v,+ l|tf,"t|ft; v,|)a6 {D(ft, q)}, (34.38)
= 4 \ <k + V' v< ~ 1 I 'H(tm) I v?> t2 6 iD- (k> 4)}, (34.39)
где S {D}-дельта-функция Дирака,
D(k, q) = ^r(q2-2kq + qQ), D_(ft, q) = ^ (q2+ 2kq - qQ).
(34.40)
Учитывая явный вид оператора взаимодействия (34.17), получаем
l(ft-q> v? +1 l-^int|ft; v?)|2=g^(v?+l),
.Ml 1 (34-41)
|(k + q) - 1 ! //int I ft; vg)[2 = |^-vg.
232
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. VII
При абсолютном нуле v, = 0 и формула (34.38) характеризует вероятность
спонтанного испускания в одну секунду электроном одного фонона с волновым
вектором q. Полная вероятность спонтанного испускания в одну секунду
любых фононов определяется выражением
ч ч
Переходя в этом выражении от суммы к интегралу и используя правило
вычисления интегралов, содержащих дельта-функцию
(дсд(х)\
J Z7 (лг) б {ф (a:)} dx = 2 77
X.
\ дх 1х=х,
где xt - корни уравнения ср(л:) = 0, получим 2 ' ^т
Sф {D(k'q)] dq=
-i
( o2vm*
kQ+ J2 при 2k^Q,
= яШсвГп 3 J F (34.42)
I 0 при 2&<Q.
Из (34.42) следует, что минимальная скорость электрона, начиная с которой
он способен излучать фононы, равна скорости звуковых волн в кристалле
vm-m = -^- = ~ = ca, (34.43)
так как только при k^kmin функция D(k, q) может обращаться в нуль. Это
условие совпадает с пороговым условием для черен-ковского излучения
фотонов в кристалле при прохождении быстрых электронов. Из (34.43)
следует, что пороговое значение энергии электрона равно
Еmin- 2т* - 2 т
При са - Ъ • 105 см/сек, т*^ 10-27 г, Ет-т^ 1,2 • 10~16 эрг^г^ 1СИ эв.
Отличная от нуля вероятность спонтанного перехода (34.42) из состояний
|fc; 0) при 2k^Q указывает, что эти состояния не являются стационарными.
Их время жизни Г*, т. е. время, необходимое для испускания одного фонона,
связано с w?' простым соотношением
Tk=h/wT.
Неопределенность энергии в состоянии \k, 0) при 2k^Q равна
Д E = n/Tb = htft>.
§ 34] ПОТЕНЦИАЛ ДЕФОРМАЦИИ В КОВАЛЕНТНЫХ КРИСТАЛЛАХ 233
Формально неопределенность энергии в состоянии }k, 0) можно учесть,
добавив к энергии E(k)--^^ мнимую энергию
Поглощение реальных фононов возможно при всех скоростях электрона.
Поглощение и испускание фононов изменяет состояние движения электрона.
При этом изменение волнового вектора к вдоль его первоначального
направления изменяет величину потока электронов и приводит к
сопротивлению при прохождении тока через кристалл. Следовательно, для
вычисления сопротивления металла и полупроводника надо определить
скорость изменения среднего значения вектора k вдоль его первоначального
направления
" - Ж = ~ 2 М + (34.44)
я
где (.1 -косинус угла между ft и q. Здесь 1/т* - частота столкновений
электрона с фононами. Параметр xk называется временем релаксации импульса
или транспортным временем столкновения.
В металлах (и даже в некоторых полупроводниках) энергия электронов
значительно больше энергии фононов Нюд, поэтому можно положить
D(k, q)^D_(k, q)^^(f + 2kqn). (34.45)
Такое приближение соответствует учету только упругого взаимодействия
электронов с фононами. При температуре, значительно превышающей
дебаевскую, произведение vghcод равно тепловой энергии 0 q-Й моды
фононных колебаний. В этом случае в приближении (34.45)
~{qi + 2kq\^.
Подставляя эти значения в (34.44), находим
2ла20
После перехода от суммы по q к интегралу, получаем
" ^т о
^ 5 93S з5г(92 + 2^) ^ = (34.46)
ш2(c)
т. 2sikMticn
к a
где о -объем элементарной ячейки.
Таким образом, при высоких температурах сопротивление зависит от энергии
электрона и линейно зависит от температуры. При низких температурах
ч
wt'q + Wk!q = дщ; (v, + v2) + 2А^)]. (34.47)
234
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. VII
где
Подставив (34.47) в (34.44), находим
i = - шк 2 К + х/2) б (^ + 2kqy)] =
kMNca
ч
л MtPc,
vmc2
а
(34,48)
Таким образом, при низких температурах сопротивление возрастает
пропорционально пятой степени температуры.
34.3. Взаимодействие электрона, с деформацией решетки при условии сильной
связи. Полученные в предыдущих разделах этого параграфа результаты
базировались на использовании теории возмущений. Возникает, однако,
вопрос, не могут ли существовать кристаллы со столь малыми модулями
упругости и большими эффективными массами электронов, при которых
взаимодействие электрона проводимости с продольными акустическими
колебаниями приводит к локальной деформации решетки, достаточной для
образования глубокой потенциальной ямы, в которой электрон может
совершать стационарное движение с дискретной энергией. В этом случае
дополнительное поступательное движение электрона сопровождалось бы
