Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
в кристалле: 1) движение электронов в кристалле всегда сопровождается
движением поля деформации (поля-ронный эффект); 2) электроны, испуская и
поглощая фононы, переходят из одних состояний движения в другие; 3) в
некоторых особых случаях взаимодействие электронов с фононами приводит к
появлению сверхпроводимости и другим изменениям состояния1 твердого тела.
В ковалентных (неионных) кристаллах, в частности в полупроводниках типа
германия и кремния, взаимодействие электронов
Е,э8
/О
!5А
Рис. 40. Изменение энергий электронов 2s и 2р атомных орбит атомов
углерода при изменении расстояния между атомами.
§ 34] ПОТЕНЦИАЛ ДЕФОРМАЦИИ В КОВАЛЕНТНЫХ КРИСТАЛЛАХ
223
с фононами можно описать с помощью деформационного потенциала, введенного
Бардиным и Шокли [115]. Деформационный потенциал характеризует изменение
энергетических состояний электронов при изменении расстояний между
атомами в кристалле. Рис. 40 иллюстрирует изменение энергетических
состояний электронов атомных орбит 2s и 2р при однородном изменении
расстояний между атомами углерода в кристалле алмаза.
Среди элементарных возбуждений кристалла наибольшую роль играют
длинноволновые возбуждения. При исследовании этих возбуждений кристалл
можно рассматривать как непрерывную среду. Напомним, как описывается
деформация в непрерывной среде ([116], ч. II, § 1). Пусть поле векторов
смещений и (г) характеризует малое смещение точки г в новое положение г,
т. е.
Поле векторов смещения и (г) меняет расстояния между двумя близкими
точками. В частности, изменение квадрата расстояния между двумя близкими
точками можно записать в виде
- вещественный симметричный тензор деформации. Этот тензор можно
привести к главным осям. Тогда изменения малых длин вдоль главных осей
определяются выражениями
- главные значения тензора деформации. Изменение объема при
деформации (34.1) равно
Относительное изменение объема выражается через тензор деформации
г - /*+и (/*)'.
(34.1)
3 3 / 3 \2
I t /"\ л" I
где
(34.2)
6Arv = (l+gvv)6.tv, v.= 1,2,3,
(34.3)
где
6 = ^L
5vv - dxv
d uv
(34.4)
8V = (1 +Ы (1 +Ы (1 +Ы W ъ f 1 +2Ц 6V.
\ лi ,
(34.5)
V
Из определения (34.4) следует равенство
Sp | = div и (г),
(34.6)
224
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. VII
поэтому относительное изменение объема можно выразить непосредственно
через векторы смещения и (г).
В кристаллах кубической сингонии вблизи центра зоны Бриллюэна Л-
пространства изоэнергетические поверхности имеют сферическую форму. В
приближении эффективной массы в идеальном кристалле закон дисперсии имеет
простой вид
E(k) = h2k2(2m*)-\ (34.7)
Предположим, что в результате упругой деформации кристалла в нем создана
область с повышенной плотностью и, следовательно, с повышенной
поляризуемостью. Электрон проводимости будет притягиваться к месту с
повышенной поляризуемостью. Таким образом, область уплотнения действует
на электрон проводимости как потенциальная яма, которая вследствие
инерционности смещений атомов не успевает следить за движением электрона.
Притяжение со стороны ямы понижает энергию электрона. Строго говоря, это
понижение определяется деформацией кристалла не только в месте нахождения
электрона, но и в окрестной области. При деформациях, мало изменяющихся в
пределах нескольких постоянных решетки, можно считать, что понижение
энергии электрона (изменение закона дисперсии) в некоторой точке
кристалла определяется деформацией в той же точке.
При малых деформациях, характеризуемых тензором деформации |, закон
дисперсии примет вид
Е(к, g(r)) = ?(*)-aSpg(r), (34.8)
где а -некоторый параметр, слабо зависящий от k при малых к. Его величину
можно оценить, если допустить, что закон дисперсии (34.7) сохраняет свой
вид вплоть до энергии Ферми ,
п ft2 /Зя?Л/\2/3
При изменении объема эта энергия изменяется на величину
с г- 2 г, 6V 2 г с t
о Ер ^ Ер у - ^
Следовательно, параметр а определяется равенством
2 п
о = -3~ЕР.
В некоторых кристаллах изоэнергетические поверхности в приближении
эффективной массы являются поверхностями второго порядка
Е (k) = y К* M^mvix)"1. (34.9)
v, м-
§ 34] ПОТЕНЦИАЛ ДЕФОРМАЦИИ В КОВАЛЕНТНЫХ КРИСТАЛЛАХ 225
В таких кристаллах при деформации изменение Е (к) обусловлено не только
относительным изменением объема p = Sp?, но и тензором деформации сдвига
Л vn = ivn - "з ¦ <V Sp I, (34.10)
характеризующим изменение формы без изменения объема. В общем случае
изменение Е (к) при малых деформациях можно записать в виде
Е (к, Ivn) - Е (к) = - о Sp.g + р 2 Mvnvn (г) (34.11)
V, Д
где а и р -два параметра.
Если деформация неоднородна, то тензор деформации ^ц (^) зависит от
координаты г. Предполагается, что выражение (34.11) сохраняет свой вид и
для неоднородных плавно изменяющихся деформаций. В соответствии с
адиабатическим приближением его можно рассматривать как дополнительную к
(19.1) потенциальную энергию электронов в решетке, которую называют
деформационным потенциалом
Wd (г) = - о Sp I (г) + р ^ fcvMvn (г) (mCu)-1. (34.12)
