Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
положить ?*(/п)^0, тогда
Н0(ft, q)^hva\q\-E0(k) + E0(k-q), (34.74)
где
E0(k) = - Wa^exp (ikm) (34.75)
m
- энергия свободного электрона в зоне проводимости (см. (34.58)).
Подставив значение (34.74) и ?*(/п) = 0 в (34.73), находим энергию
электрона, взаимодействующего с фононами
E(k) = E0(k)-~yirTr--------,1 FaJq^, " i . . (34.76)
v / uw N AdE0(k - q) - E0(k) + bca\q\ K >
я
Это выражение в точности совпадает с выражением (34.31), полученным во
втором порядке теории возмущений по взаимодействию.
В пределе гипотетической очень сильной связи (т.) 1
Hoo(ft, q) ^hca\q\ и энергия электрона согласно (34.73) равна
я
В случае промежуточной связи функции ?*(/п) определяются системой
уравнений (34.72), число которых равно числу ближайших соседей,
учитываемых в сумме по т. При фиксированном k в простом кубическом
кристалле все ?*(/п) одинаковы и (34.72) сводится к одному
трансцендентному уравнению. Рассмотрим это уравнение для значения ft = 0.
Обозначим ?0 (tn) == ?. Если использовать дебаевское приближение для
описания продольной акустической ветви колебаний, т. е. положить sin (qm)
^qtn, то (34.71) преобразуется к виду
Е (0, q)^hca\q \ + waa2q2e^, (34.78)
ПОТЕНЦИАЛ ДЕФОРМАЦИИ В КОВАЛЕНТНЫХ КРИСТАЛЛАХ
241
Подставив это значение в (34.72), имеем при й = 0
(34.79)
я
Перейдем от суммы по q к интегралу, используя преобразование
где <7 = <7о?, qо - максимальный дебаевский волновой вектор фонона. Тогда
(34.79) и (34.73) преобразуются к виду
Р=-г - упругая постоянная решетки; а -параметр деформационного
потенциала;
- отношение максимальной энергии фононов к энергии свободных
электронов с тем же волновым вектором. Тоязава [120] назвал это отношение
параметром неадиабатичности, так как значение у = 0 соответствует
нулевому адиабатическому приближению.
Решив уравнение (34.80), можно найти ? как функцию параметра силы связи g
и параметра неадибатичности у. Подставив далее найденное значение ? в
уравнение (34.81), можно определить энергию электрона как функцию тех же
параметров. Аналитическое решение этой задачи весьма сложно, поэтому
Тоязава [120] предложил использовать параметрическое представление g и Е
как функции ?. На рис. 44, а изображена такая зависимость для случая k =
0 и 7<;1. Используя эти кривые, можно построить и кривую зависимости
энергии электрона от параметра связи g (рис. 44, б).
Оказалось, что при у<^1 функция ? в области значений g между g1 и g2
трехзначная. Поэтому кривая зависимости энергии Е от g имеет петлю с
точкой пересечения при g=gc• Устойчивые состояния с меньшей энергией
отмечены толстыми линиями.
9
0
(34.80)
о
1
ЕФ)
6^0
(1+?)-е-Е + ЗбТ*с \
(34.81)
о
где
а2 т*о2
(34.82)
^ 12waMc2a 6аЛ2^ '
(34.83)
242
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. VII
Среднее число виртуальных фононов, окружающих электрон в состоянии
(34.63), определяется выражением
<л> = \Ф* Хьчь<1 = 21/*(?).
ч я
(34.84)
Сравнивая это выражение с (34.69), мы видим, что число виртуальных
фононов пропорционально ?. При значениях параметра связи g, меньших gc,
решение с меньшей энергией соответствует
Рис. 44. Энергия электронов и число виртуальных фононов в зависимости от
силы связи (g) электронов с продольными акустическими фононами.
малому значению ?. При значениях g, больших gc, состояниям с меньшей
энергией соответствуют значения ?, превышающие lc - 3/iy. Переход от
малых значений ? к большим значениям происходит скачком (при 7^1)- Это
скачкообразное изменение соответствует изменению характера движения
электрона, обусловленному короткодействующими силами, вызываемыми
локальным деформационным потенциалом.
Если аппроксимировать потенциальную энергию взаимодействия электрона с
деформационным потенциалом сферической прямоугольной ямой с радиусом г0 и
глубиной U0, то только при условии 2m*U0rlh-2 5= (я/2)2 (см. [5], §36)
имеются стационарные состояния отрицательной энергии, соответствующие
движению электрона в небольшом объеме. При 1гф 0 на это движение
накладывается поступательное движение с квазиимпульсом Ш. При 2т*и0г1Н~2
<С (л/2)2 связанных состояний в яме нет -движение электрона при кф 0
только поступательное.
Итак, ,на основании расчетов Тоязавы [120] можно сделать следующие
заключения. Если значение g меньше glt то имеется только одно состояние
движения электрона с малым ?, т. е. с малым числом виртуальных фононов,
сопровождающих движение электрона. Этот случай соответствует кривой 3
рис. 43.
§ 34] ПОТЕНЦИАЛ ДЕФОРМАЦИИ В КОВАЛЕНТНЫХ КРИСТАЛЛАХ 243
Если значение g находится в интервале gi<ig <.gc, то кроме устойчивого
состояния с малым значением ?, т. е. нелокализован-ного, имеется
метастабильное состояние с большей энергией и большим значением ?,
которое, следовательно, является "локализованным". Этот случай
соответствует кривой 2 рис. 43.
Наконец, еслиg находится в интервале gc<ig<Lg2, то состоянию с меньшей
энергией соответствуют большие ?, т. е. "локализация" электрона. Второе
состояние с меньшим ? нелокализовано и является метастабильным. Состояния
