Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
перемещением локальной деформации (большое число виртуальных фотонов) и
масса электрона относительно такого движения значительно возросла бы.
Для исследования этого вопроса используем вариационный метод и
адиабатическое приближение. Для оправдания условия применимости
адиабатического приближения необходимо, чтобы кинетическая энергия
движения атомов решетки была значительно меньше кинетической энергии
движения электронов. В этом случае движение атомов можно рассматривать
классически, а движение электронов квантовомеханически. Для упрощения
исследуем нижайшее энергетическое состояние электрона без поступательного
перемещения. Оптически изотропный кристалл рассматривается как
непрерывная среда.
Взаимодействие электрона с продольными акустическими колебаниями
характеризуется потенциальной энергией (деформационный потенциал (34.13))
где р (г) - относительное изменение объема (34.5), г -координата
электрона. Пренебрегая кинетической энергией решетки, в соответствии с
нулевым порядком адиабатической теории возмущений
w(r) = - ap (г),
(34.49)
§ 34] ПОТЕНЦИАЛ ДЕФОРМАЦИИ В КОВАЛЕНТНЫХ КРИСТАЛЛАХ
235
можно написать энергию системы (электрон + решетка) в виде интеграла
где т* - эффективная масса электрона, р - упругая постоянная, ¦ф (г) -
вещественная волновая функция электронов, удовлетворяющая условию
нормировки
Первое слагаемое в (34.50) характеризует кинетическую энергию электрона,
второе -его взаимодействие с энергией деформации решетки и третье -
энергию упругой деформации.
При фиксированной деформации р(г) минимизация функционала по отношению к
1)5 (г) при дополнительном условии (34.51) приводит к уравнению
Если решение этого уравнения ^о^). соответствующее нижайшему электронному
состоянию при фиксированном р, подставить в (34.50), то получим
адиабатическую потенциальную энергию
минимизация которой определит деформацию р (г).
Абсолютный минимум функционала (34.50) можно найти, варьируя вначале по
р(г), а затем по ^(г). В результате варьирования по р получаем
Подстановка (34.52) в (34.50) дает функционал, зависящий только от
г|;(г):
Минимизацию этого функционала выполним с помощью пробной функции
удовлетворяющей условию нормировки (34.51), ^ - безразмерный
положительный вариационный параметр, а -постоянная решетки. Подставив
(34.54) в (34.53), находим
Е {ф. р} = \ [айр (v^)2 - a^2 (r) Р П + у Рр2 и] &г> (34.50)
$ г|з3 (г) d3r = 1.
(34.51)
^ V2 ~ aP И - (Г) = °*
Р (Г) = J V (г).
(34.52).
(34.54)
(34.55)
236
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. VII
Здесь первое слагаемое определяет кинетическую энергию, которая
возрастает при локализации, а второе слагаемое - потенциальную энергию
системы.
Функция ? ((д.) имеет экстремальные значения ?'1 = 0 и Е2 -
- 2я3Н6$2/т*о*, соответственно, при значениях ju-i = 0 и yi2 = =
2nh2$a/m*o2. Для значений |д>> 1,5|д2 функция Е (|д) становится
отрицательной (рис. 43). Развитая выше упрощенная теория применима только
для значений |д<1. При возрастании |д (при уменьшении радиуса области
локализации) становится неприменимым метод эффективной массы электрона;
деформация кристалла
не будет плавной функцией координат; изменится потенциальная энергия
(34.49) взаимодействия электрона с деформацией [119].
Плотность кристалла и его поляризуемость возрастают при уменьшении
радиуса области деформации только в том случае, когда последний
значительно превы--шает постоянную решетки. Когда радиусы области де-
Рис. 43. Адиабатическая энергия элект- формации И локализации
рона в гомеополярном кристалле как электронного состояния срав-
функция параметра локализации. ниваются с постоянной ре-
шетки, их уменьшение может приводить только к возрастанию энергии. Если
при увеличении (д, возрастание Е ([д) начнется с отрицательных значений
(пунктирная кривая 1 на рис. 43), то локализованное состояние будет
энергетически выгоднее нелокализованного (^д = 0). Если возрастание Е
(|д) начинается с положительных значений (пунктирная кривая 2 на рис.
43), то локализованное состояние будет метастабильным. В обоих случаях,
однако, такие локализованные состояния отделены от нелокализованных
большим потенциальным барьером.
' Наконец, при некоторых параметрах кристалла кривая Е (|д) при
увеличении |д не имеет минимума (пунктирная кривая 3 на рис. 43). В этом
случае устойчивым состоянием будет состояние без локализации электрона
(|д = 0). В следующем разделе мы проведем качественное исследование
условий локализации электрона, отказавшись от континуальной модели и
адиабатического приближения.
Здесь мы рассмотрели только нижайшее состояние, соответствующее нулевому
значению импульса поступательного движения электрона вместе с локальной
деформацией решетки. Поскольку
§ 34] ПОТЕНЦИАЛ ДЕФОРМАЦИИ В КОВАЛЕНТНЫХ КРИСТАЛЛАХ 237
в кристалле электрон перемещается вместе с деформацией, то эффективная
масса, соответствующая этому движению, весьма велика.
Более подробно этот вопрос обсуждается в следующем разделе.
