Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
электрона. При наличии спина уравнение (19.4) заменяется уравнением Паули
Вследствие периодичности W (г) и уравнения (19.4) и (19.6) можно
рассматривать только в одной элементарной ячейке, вводя условия
периодичности на-ее поверхности. В первом приближении влияние спин-
орбитального взаимодействия можно не учитывать. Ниже мы рассмотрим только
это приближение.
Функцию ы*а(г), как и любую периодическую функцию с периодом решетки я,
можно разложить по полной ортонормированной системе функций, заданной в
объеме элементарной ячейки v:
Vg(r) = ^-exp(igr), - f exp [t (g-g') r] d3r = 6eg>, (19.7)
V v v J
Подставив (19.8) в (19.4), получим систему алгебраических уравнений
относительно амплитуд /Ua(g'):
[^+W(r)+Wsp,(r, Sg)-Ea,s2(k)]^,a,sz(r, st) = 0. (19.5)
И>*. a. s, (Г, st) = -7= Uk, h. Sz (r, sz) exp (ikr).
z у у г
w grad w W (p+hk) " M "*• "• ^=°-
(19.6)
где g- вектор обратной решетки. Тогда
uka И = Aka (g) exp (igr).
(19.8)
g
ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
125
где
<^1^1^')=-^ J ехр [t (g' ~ g) г] W (г) cPr. (19.10)
Если потенциал W (г) достаточно плавный, то в правой части (19.9) будут
существенны несколько слагаемых, для которых вектор g' мало отличается от
g. Решив систему уравнений (19.9), можно определить средние значения
энергии, скорости и других величин, относящихся к электрону. Например,
энергия в состоянии | ka) имеет значение
Еа (k) = (г|5*а | Н | г|5*а) =
= + A^(S)(g\W\g')Aka{gf), (19.11)
g g.g1
средняя скорость
(1912>
т 8
Без учета слабой зависимости амплитуд Л*а от k, при сравнении
(19.11) и (19.12), находим
V*a = JrV*?a(fc). (19.13)
Предположим, что энергия (19.11) при фиксированном а имеет экстремальное
значение при k = k0. Если ko^0, то такие же экстремальные значения
энергия будет иметь и в других точках зоны Бриллюэна с волновыми
векторами koi, образующими с k0 звезду ^-представления (см. § 5). Вводя
вектор q = k - k0, можно при малых q заменить (19.11) приближенным
выражением
?а (*" + ?) = ?"(*").+ ^ (19.14)
|i. v
где
4 = (r) ?) I л* (?) I1!- 09.15)
g
Величина 1 /т*^ в (19.14) называется тензором обратной эффективной массы
электрона в соответствующей энергетической полосе. Второе слагаемое в
(19.15) учитывает эффективное изменение массы свободного электрона
вследствие действия периодического потенциала.
Тензор обратной эффективной массы симметричен и в каждой экстремальной
точке зоны может быть приведен к главным осям. Если координатные оси х,
у, z направить вдоль главных осей
126
ОДНОЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ В КРИСТАЛЛЕ
[ГЛ. V
этого тензора, то (19.14) преобразуется к виду
Ea(k)-Ea(k0) = y^l, mv==mvv, v - x, у, г. (19.16) ^ 2mv
V
Значения равной энергии Еа (д) - Еа (k0)~E = const образуют в
пространстве волновых векторбв изоэнергетические поверхности второго
порядка ql/al + ql/al + ql/al-l с полуосями
(19.17)
Эта поверхность соответствует трехосному эллипсоиду, если т%фт%фт*> 0.
При условии mf - т,у <т| изоэнергетическая
Рис. 22. Изоэнергетические поверхности, в k-пространстве.
поверхность является вытянутым эллипсоидом вращения, а при tn* = triy >
tn* - сплюснутым эллипсоидом вращения. Поверхность равной энергии
образует однополостный гиперболоид, если одна из масс т* отрицательна
(например, т| >0, т^>0, т|<0), и двуполостный гиперболоид, если две массы
т* отрицательны (например, /я* < 0, 0, т|> 0). Рис. 22 иллюстрирует
ука-
занные выше возможности при k0 - 0.
Итак, гамильтониан уравнения (19.2)
№
Я = -^"+У(г)
(19.18)
имеет при малых k(k0 - 0) собственные значения (19.14) и собственные
функции (19.3). Те же собственные значения, но только
для собственных функций в виде плоских волн ф* =
Vv
exp (ikr),
ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
127
имеет эффективный гамильтониан
v=l v v
где Е (0) - значение энергии при ft = 0; 1/т* - тензор обратной
эффективной массы, записанный в главных осях. Другими словами, при
исследовании возбужденных длинноволновых электронных состояний влияние
периодического потенциала решетки можно учесть, заменив в полном
гамильтониане массу электрона тензором эффективной массы.
Если в кристалле наряду с электрическим полем W (г) на электрон действует
плавноменяющееся внешнее поле U (г), то и в этом случае, при исследовании
длинноволновых возбужденных состояний, влияние периодического поля W (г)
можно учесть путем перехода к эффективной массе электрона, т. е. можно
провести замену
(19.20)
Такое преобразование носит название метода эффективной массы. Его строгое
обоснование дал Пекар (см., например, [51], § 4).
При вычислении изменения средних значений с течением времени удобно
пользоваться гайзенберговским представлением уравнений движения
ih^(L) = ([L, ЯеН]>.
Используя это уравнение в методе эффективной массы с гамильтонианом
(19.20), получим выражение для средней скорости электрона
?<*v) = <[*v, ВД> = ^<-"Й^>. (19.21)
В состояниях с определенным импульсом <-Ш -~) = р>1. Изменение среднего
импульса определяется уравнением
= (19.22)
