Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
(20.12) соответствует энергия
Еа (к) = | я I = "а " 2 е?*п">"" (20.13)
где
wn = - (r-t-n)[W(r)-w(r)]q>(r)d3r, И)
W (г) - w (г) = 2 w(r - m).
т-фО
Таким образом, каждый невырожденный "атомный" уровень ta в кристалле
превращается в квазинелрерывную полосу энергий. Матричные элементы
(20.14) быстро убывают при возрастании \ п\. Поэтому в сумме (20.13)
можно учитывать только ближайшее окружение нона, расположенного при П--
0. Явный вид функции Ea(k) зависит от поведения волновых функций вне
атомных остовов и от расстояний между ближайшими атомами. Ширины
138
одноэлектронные СОСТОЯНИЯ в КРИСТАЛЛЕ [ГЛ. V
разрешенных полос энергии малы для состояний а, соответствующих сильно
локализованным волновым функциям.
При вычислении (20.13) в простой кубической решетке с постоянной решетки
а = |аг| (i = x, y,'z) можно учесть только шесть ближайших соседей, тогда
?"(*) = "а - w0 - 2wa [cos (kax) + cos (kay) + cos (kaz)], (20.15)
где
w0 = - \(p*(r)lW (r) - w (г)] ф (r) d3r,
- ' (20.16) Wa = - §<P* (r + a)[W (r) - w(r)](p(r)d3r.
Потенциальная энергия W (r) - w (г) отрицательна, следовательно, w0
положительно. Знак wa может быть как положительным, так
и отрицательным. В s-состояниях атомов wa>0. Ширина квазинепре-рывной
полосы энергий (20.15) равна I2\wa\. Для длинноволновых состояний, когда
&а<! 1, выражение
(20.15) можно заменить приближенным выражением
Еа (k) =(a-W0- 6Wa + Wa^k2,
(20.17)
из которого следует, что эффективная масса электрона в области центра
зоны определяется выражением
т'=шга- <20Л8)
Знак эффективной массы электрона в центре зоны Бриллюэна определяется
знаком wa.
В центре зоны Бриллюэна изоэнергетические поверхности электрона имеют
сферическую форму. Однако при увеличении | k | эти сферы деформируются
согласно (20.15). Одна из изоэнергетических поверхностей изображена на
рис. 26, а. Сечения поверхностей равной энергии в /^-пространстве
плоскостью &г = 0 показаны на рис. 26, б. На границах зоны Бриллюэна,
которые определяются значениями kit равными ±п/а, производные
-дЕ^щ} = 2 ша sin (км) = 0.
Следовательно, поверхность равной энергии пересекает границы зон под
прямым углом.
в)
Рис. 26. Изоэнергетические поверхности в простой кубической решетке.
а) Изоэнергетическая поверхность в ft-пространстве, б) сечения
поверхностей равной энергии плоскостью = 0.
г
§21] ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОНОВ 139
Вблизи восьми вершин зоны Бриллюэна, т. е. для значений
ft = (±ах±ау ±аг) -д, <7а<1,
(знаки плюс и минус берутся в произвольном порядке), энергия электрона
определяется выражением
Еа (q) = <а - w0 + 2wa [cos (qax) -f- cos (gay) + cos (qaz)] ^
<^(a - w0 + 6wa - waa2q2. (20.19)
Таким образом, поверхность равной энергии вблизи вершин зоны Бриллюэна
также сферическая. При этом эффективная масса электрона равна -т* (т* -
эффективная масса электрона вблизи Л = 0).:
Если уровень энергии ta уравнения (20.7) /-кратно вырожден, т. е. если
ему соответствуют функции срaf (/=1, 2, ..., /), то решение уравнения
Шредингера с оператором (20.11) можно искать в первом приближении в виде
i
Ф=? Af<ptaf(r), (20.20)
/=i
где
^(г)^~-^е!кпц>а{(г-п). (20.21)
П
Тогда неизвестные коэффициенты в (20.20) определяются системой /-
уравнений
? [{ка / | Я | kaf) - 6frEa(k)] Af- = 0.
/'=i
Из условия разрешимости этой системы уравнений при фиксированных
а и ft можно найти / решений Eav(k) (v = 1, 2, ...,
/).
Следовательно, одному /-кратно вырожденному атомному уровню в кристалле
соответствует / квазинепрерывных полос энергии, некоторые из которых
могут частично или полностью перекрываться.
§ 21. Вторичное квантование систем электронов
Как было показано в § 19, одноэлектронные состояния в кристалле
характеризуются волновыми функциями i|)*as (г, sz) и энергией EaSz(k),
являющимися решениями уравнения (19.5), где k - приведенный волновой
вектор, s^. -спиновое состояние и а - остальные квантовые числа,
характеризующие одноэлектронное состояние кристалла. Ниже для упрощения
записи совокупность квантовых чисел ft, a, sz будем обозначать одной
буквой К. Таким
140
ОДНОЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ в КРИСТАЛЛЕ [ГЛ. V
образом, одноэлектронным энергиям Е\ будет сопоставляться волновая
функция трл-
Среднее поле W (г), входящее в уравнение (19.5), учитывает основное
взаимодействие данного злектрона со всеми другими электронами и ядрами
кристалла. Поэтому Е% и % характеризуют, строго говоря, не состояние
электрона, а состояние квазичастицы, которую мы по традиции также будем
называть электроном, поскольку она обладает спином 1/2 и является
фермионом. Однако следует помнить, что квазичастица-электрон отражает
свойства всего кристалла и не совпадает со свободным электроном. Если мы
пренебрежем влиянием остаточного взаимодействия Wr (§ 19), то
квазичастицы-электропы не взаимодействуют между собой, другими словами,
состояния ^ независимы.
Функции образуют полную ортонормированную условиями
2 Ss*)'M'-. s*)d"r = 6u' (21.1)
sz
систему функций. В одночастичном приближении гамильтониан N электронов
