Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Г -время релаксации спинов.
В пластинке конечной толщины L волновой вектор принимает дискретные
значения kn - nn/L, зависящие от толщины L образца. Возбуждения с
волновыми векторами kn соответствуют разным частотам &$(кп), вблизи
которых восприимчивость (со, kn) имеет максимальное значение с шириной
(I/T+I/t).
В экспериментах Шульца и Данифера [50] в случае кристаллов натрия
толщиной L - 0,0236 см в поле //0 = 3250 э при температуре 1,4 °К были
найдены значения х = 3,95 • 10~10 сек и Г "=* 2,0 • 10~7 сек. Значение т
уменьшается при повышении температуры, что приводит к уменьшению
интенсивности и расширению резонанса. В Na при температуре 11 °К
резонансы с пф 0 практически не наблюдались.
ГЛАВА V
ОДНОЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ в КРИСТАЛЛЕ § 19. Электрон в периодическом поле
В кристалле с закрепленными ионами в узлах решетки взаи-' модействие
электронов между собой и с положительно заряженными ионами можно
представить в виде суммы некоторого среднего поля W(г), зависящего только
от координат этого электрона и обладающего свойством периодичности
W(r)=W(r+n) (19.1)
и некоторого остаточного взаимодействия Wr, которое зависит от координат
всех электронов. В ряде случаев остаточное взаимодействие мало, и в
нулевом приближении можно рассматривать, движение отдельного электрона
только в поле W (г). Стационарные состояния электрона массы т в таком
поле называются одноэлектронными. Они определяются уравнением Шредингера
[~P2+W(r)-Ea(k)]^a(r^0, р = -т. (19.2)
В действительности одноэлектронные состояния, определяемые уравнением
(19.2), являются только квазистационарными. Остаточное взаимодействие Wr,
взаимодействие с другими степенями свободы кристалла (движение ионов) и
дефектами кристаллической структуры приведут к процессам релаксации. В
очень чистых кристаллах при очень низких температурах время жизни,
обусловленное процессами релаксации, сравнительно велико, поэтому в
первом приближении их можно не принимать во внимание.
Собственные функции уравнения (19.2) являются одновременно собственными
функциями оператора трансляции, поэтому одним из квантовых чисел,
определяющих состояния, является волновой вектор k, все остальные
квантовые числа обозначены буквой а.
Уравнение (19.2) является частным случаем уравнения (5.2), определяющего
общие стационарные состояния кристалла. Энергия Еа (k) удовлетворяет
условию периодичности
Ea(k) = Ea(k + g).
ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
123
В кристалле с N элементарными ячейками при фиксированном а энергия Еа
(ft) принимает N квазинепрерывных значений, образующих энергетическую
зону одноэлектронных состояний. Если кристалл не находится во внешнем
магнитном поле, то вследствие инвариантности уравнения (19.2)
относительно обращения времени (см. § 5) без учета спинового состояния
должно выполняться равенство
Еа (ft) = ?"(-*).
Классификация одноэлектронных состояний с помощью энергетических зон а,
каждая из которых имеет N подуровней, различающихся значениями
приведенных волновых векторов ft из первой зоны Бриллюэна, не единственно
возможная. В некоторых случаях более удобно определять состояния
указанием значений волновых векторов к во всем ft-пространстве -
расширенном k-пространстве. При этом переходу из одной энергетической
зоны Еа(к) в другую Ер (ft) в первой зоне Бриллюэна в расширенном ft-
пространстве соответствует переход из одной в другую зоны Бриллюэна. На
простом примере этот переход обсужден в § 20. Энергия Е (ft), заданная в
таком расширенном ft-пространстве на границах зон Бриллюэна, претерпевает
разрывы.
Использование расширенного ft-пространства для описания одноэлектронных
состояний удобно при описании состояний электронов в некоторых металлах
(а-марганец, -у-латунь и др.), в элементарной ячейке которых находится
много атомов (следовательно, много электронов). В этих случаях при
описании состояний на языке зонной схемы поверхность Ферми оказывается в
пределах третьей или четвертой зон.
Решение уравнения (19.2) можно представить в виде "модулированных плоских
волн"
ipia (r) = Yf U*<* (Г) ехР (ikr)> (} 9-3)
где (г) = ы*а(/*+я) -периодические функции, V - объем кристалла. Такие
функции называются функциями Блоха. Подставив
(19.3) в (19.2), мы убедимся, что "амплитуды" функций Блоха должны
удовлетворять уравнению Шредингера
Г (/-)-?" (ft)] ыеа(/-) = °. (19.4)
Наличие спина электрона проявляется при нерелятивистском движении в поле
W (/*)'в виде дополнительного - спин-орбитального взаимодействия [5],
оператор которого
s*) =4^2 [0grad W(r)]p
124
ОДНОЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ В КРИСТАЛЛЕ
[ГЛ. V
1 О'
- матрицы Паули, действующие на спиновые переменные sz. Таким
образом, при учете спина электрона уравнение (19.2) заменяется уравнением
Вследствие инвариантности относительно обращения времени должно
выполняться равенство Еа\(k) = Еа\(- k). Функция Блоха уравнения (19.5)
зависит и от спиновой переменной s2) так что
Здесь квантовое число sz учитывает два возможных спиновых состояния
