Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Давыдов А.С. -> "Теория твердого тела" -> 48

Теория твердого тела - Давыдов А.С.

Давыдов А.С. Теория твердого тела — М.: Мир, 1979. — 646 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyatverdogotela1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 233 >> Следующая

частности, в состояниях с определенным значением импульса
(pv) = pv> и уравнение (19.22) преобразуется к простому виду
d, ,dU
128
ОДНОЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ В КРИСТАЛЛЕ
[ГЛ. V
Если U (г) - - еф, где ф - скалярный потенциал электрического поля
напряженности Е, то уравнение (19.23) преобразуется к виду
|л"г<-?>=-'?"- <'9.24)
Следует иметь в виду, что равенства (19.21) - (19.24) получены только в
том случае, когда состояние электрона описывается эффективным
гамильтонианом (19.19) с постоянными значениями эффективных масс т*, т.
е. для областей ft-пространства, где Eas (ft) достигает экстремальных
значений. В области абсолютных экстремумов главные значения тензора
обратной эффективной массы имеют одинаковый знак - положительный в
минимуме и отрицательный в максимуме.
В действительности движение электрона в кристалле описывается волновым
пакетом, т. е. суперпозицией плоских волн с небольшим разбросом волновых
векторов около некоторого фиксированного значения ft0. Средняя скорость
электрона в этом состоянии совпадает с групповой скоростью пакета *) (см.
[5], § 3), т. е.
(r) (*о)=Y terad* Е° (*)]*=*. ^ Т (т1 L*0- (19-24а)
Поскольку групповая скорость- электрона определяется через градиент
энергии в ft-пространстве, то она всегда направлена по нормали к
изоэнергетической поверхности. Если изоэнергети-ческая поверхность
эллипсоидальна, то направление скорости o(ft0) совпадает с направлением
квазиимпульса ftk0 только для трех главных направлений (см. формулу
(19.21)). В остальных случаях (r)(ft0) и не коллинеарны. В общем случае
o(ft0) является сложной периодической функцией ft0.
19.1. Локализованные состояния электрона в кристалле. В идеальном
кристалле, соответствующем гамильтониану Н0 (г) =
- Но (г + п) уравнения (19.2), стационарные состояния соответствуют
функциям Блоха
tya* (Г) = exp (ikr) uak (г),
где V = Nv - объем кристалла, содержащего N элементарных ячеек. Функции
г)за* (/*), соответствующие энергии <a(ft) и квази-
з
*) Если k= где е,?у = бгу, то здесь и в последующем изложении
i - 1
дифференцирование по векторному аргументу надо понимать в следующем
смысле
т=
i=i
§ 19] ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 129
импульсу hk, пробегающему N дискретных значений, полностью
делокализованы, так как
И]гНг|за* (Гп) j2,
где п - любой вектор решетки. Функции Блоха нормированы условием
^ ^а'А' (f) (f) ~ &kk'&aa'> ~ ^ Ч-ah (f) Ua'k (?) d3r - 6а<х*
V
Предположим теперь, что в некоторой точке решетки г0 имеется локальное
нарушение периодичности (атом другого типа, вакансия и т. д.), которое
характеризуется локальной потенциальной энергией w(r - r0). Уравнение
Шредингера, определяющее стационарные состояния кристалла с локальным
нарушением периодичности, примет вид
[H0 + w(r-r0)-E]4(r) = 0. (19.25)
Разложим искомое решение по функциям Блоха г|)а* изолированной
энергетической полосы (а(k):
(19.26)
k
Тогда получим систему N алгебраических уравнений, определяющих энергии
кристалла с дефектом, соответствующие (a (k) в идеальном кристалле,
= О, (19.27)
k
где
И w (r - ro)%k (r) d3r.
Если потенциальная энергия w(r - r0) отлична от нуля только
в малом объеме vQ, то, используя теорему о среднем, можно
написать
W)^a* м W0v0, (19.28)
где
w0v0 = \w (г - r0) d3r\
/*о - некоторая точка в объеме v0. Далее будем отсчитывать расстояния от
значения г',, т. е. положим г'" = 0.
Подставив (19.28) в (19.27) и учитывая (19.26), находим
ак = а>0"оЧ>?* (0) (0) [Е - "" (k)}-\ (19.29)
130
ОДНОЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ В КРИСТАЛЛЕ
[ГЛ. V
Используя это значение и (19.28) в уравнении (19.27), получим уравнение
1 Ь 1 (19.30)
где
w0v0 V ? [?-""(*)] * к
I uak (°) i2
у- S5W | 0|)а* (0) |2 - - у -.
Уравнение (19.30) определяет новые энергетические уровни.
Рис. 23. Графическое решение уравнения Ф (?) =
W0Vo
Поскольку к пробегает N значений, то (19.30) является алгебраическим
уравнением N-й степени. Следовательно, оно имеет N корней.
Пусть (0, "1, <2* •••" "лг-1 - последовательно возрастаю-
щие дискретные энергии идеальной зонной структуры. Тогда функция
Ф(Е)^^[Е-(а(к)]-^ (19.31)
k
имеет вид, указанный на рис. 23 жирными линиями. Корни уравнения (19.30)
определяются точками пересечения этих кривых с горизонтальными линиями
(w0v0)-1. При (оу0и0) < 0 все уровни Eh кроме нижайшего Е0, практически
не изменяются,
ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
131
так как они расположены между близкими невозмущенными уровнями
"а (#/) < Ем < <u (kM).
Уровень Е0 отщепляется от зоны. При ш0^о>0 отщепляется от зоны верхний
уровень.
Для получения аналитических характеристик отщепленного уровня рассмотрим
для простоты одномерный кристалл с N узлами и расстоянием а между ними.
Тогда волновой вектор к пробегает N абсолютных значений: 4, = ^, / = 0,
±1, ..., N/2. Предположим далее, что ,
*а(&/) = *о + -М (1 - coskta), М>0, (19.32)
где (0 - Дно зоны проводимости, М - ширина зоны проводимости. При этих
значениях функция (19.31) преобразуется к виду
(19.33)
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 233 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed