Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
где ft -волновые векторы в первой зоне Бриллюэна; операторы Ак и Вк
удовлетворяют перестановочным соотношениям
[Ал, АЦ'] = [Вк, В&] = 6*.*.. (18.11)
В результате преобразования (18.10) получаем
// = ?//*, k
где
Нь = а (k) AtАк + Р (k) BLkB-k + у (к) {A%BU + AkB^k), (18.12) а (к) = а
( к) = LAд (0) - LАд (k) + ц0В + у ((r))"
Р (к) - Р (-k) = LAA (0) - Laa (к) - ц0В + Y (0). (18.13)
1 2
у(к) = у (-k) = - ~ Lab (к).
Диагонализация гамильтониана (18.12) осуществляется каноническим
преобразованием к новым операторам рождения и уничтожения элементарных
возбуждений
ц1(й) = Л*сЬф + В1*зЬф, ц2(й) = Л^зЬф + В_*сЬф. (18.14)
Преобразование (18.14) является унитарным при любом значении ф,
следовательно, новые операторы удовлетворяют бозевским перестановочным
соотношениям
Ы*), (*')] = "***&/', [ц/(Л), ц/'(*')] = 0. (18.15)
Значение ф определяется из условия, чтобы гамильтониан (18.12) Принял
диагональную форму
2
и (к) lit (к) in (к)+ (0 (к). (18.16)
/ = i
Тогда из (18.16) следует
Ы*), tf*] = M*)M*) = "i(*)M*ch9 + fli*shV). (18.17) С другой стороны,
используя (18.14) и (18.12), получаем [Hi(ft), Я*] = Л*(асИф -уэЬф) +
В1*(усЬф -рзИф).
Сравнивая это выражение с (18.17), находим систему двух уравнений
(е1(Л)-а(й))сЬф + у(Л)зЬфГ0, ' у ch ф - (*! (k) + р (k)) sh ф = 0.
Из условия разрешимости системы уравнений (18.18) получаем значение
энергии элементарных возбуждений
(к) = 4 [а (к) - р (к) ± ]/(Р (к) + а (к)? - 4у2 (к) ]. (18.19)
116
плазменные И СПИНОВЫЕ волны
[ГЛ. IV
Из (18.13) следует
a (k) - р (ft) = 2|хйВ.
(18.19а)
Поскольку |л0В в антиферромагнетике значительно меньше обменных
интегралов, то в (18.19) следует сохранить только положительный знак
перед корнем.
Проведя аналогичное вычисление [|л2(?), #*], можно убедиться,
что
"2 (*) = у [Р (*) - "(*) ¦+ У Ф (к) + "(ЮГ - 4V2 (к) ]. (18.20)
При отсутствии магнитного поля В оба решения (18.19) и (18.20) совпадают
В области малых значений волновых векторов (&а<^1) в изотропном кристалле
согласно (18.13) и (18.7) можно использовать приближенные выражения
V(*) = Y(0)-/"**. y[a(*) + P(*)] = v(0) + /uft*, (18.21)
t*=±2n4"W>0' ^=-т2"2/ар(л)>0- (18'22)
Подставив (18.21) в (18.19), получим энергию длинноволновых
антиферромагнитных магнонов
Следовательно, энергия длинноволновых магнонов в антиферромагнетиках
линейно зависит от волнового вектора. Такая же зависимость характерна и
для акустических фононов. Поэтому магноны антиферромагнетика вносят в
теплоемкость кристалла при низких температурах вклад, также
пропорциональный третьей степени температуры.
Перейдем к вычислению угла ф, входящего в канонические преобразования
(18.14). Для этого умножим первое уравнение
(18.18) на shcp, а второе -на сЬф, имеем
"1 (к) = "а (к) = У а2 (к)-у2 (к).
где
п
п
*i,2 (к) - it [Лоб k V Y (0) [^и 4" ^12] " ka<^\. (18.23)
Из (18.24) также следует равенство
У (a (ft) + P(ft))2- 4у2(к)_________________1
a (ft) + (3(A) ch2cp + sh2<p '
§18] СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В АНТИФЕРРОМАГНЕТИКЕ 117
которое при учете (18.19) можно записать в виде
(,8 25)
В частности, при В - 0, a(k) = $(k) и равенства (18.24) и (18.25)
принимают простой вид
i^- = ch2<f> + sh2cp, 2сИф -sh9 = (18.25а)
Для вычисления энергии f0 вакуумного состояния в (18.16) надо подставить
в это выражение значения (18.14) и полученный результат приравнять
(18.12). Таким образом, получаем для случая В = 0 "о = - 2f(ft)sh2cp.
Подставляя это значение в (18.16), имеем окончательное выражение для
оператора энергии возбужденных состояний с определенным значением к
Hk = *(k) 2 ((*/>* - sh2 ф).
Обратное к (18.14) каноническое преобразование имеет вид
Ak = hi (к) ch ф - (4 (*) sh ф, (18 26)
BLf, - jj,i (к) ch ф - fj-i (к) sh ф.
Оно позволяет вычислять средние значения физических величин, относящиеся
к разным подрешеткам. В качестве примера вычислим зависимость среднего
значения магнитного момента подрешетки А от температуры. При учете (18.4)
можно написать
N * N v
Мл(0) = ^о 2 <"">=А*о 1-^2 <Л"Лл> •
Л - 1 \ П=1 /
Подставив значения (18.10) и (18.26), находим
2 (А+Ап) = 2 (AiAk) = 2 [(у ¦+ № (*) in (к))] (ch2 Ф + sh2 <р) -1].
п k k
При получении этого выражения мы учли равенство (^ц-i) = (м-гИ-г)* При В
= 0 можно использовать равенство (18.25а), тогда
2 (AtA") = 2 [(1 + (*) Ц1 (*)>) ТЩ- - т]- (18-28)
к к
Здесь ((о,, (k) Ца (k)) - среднее число магнонов, имеющих волновой
вектор k. При температуре 0 оно равно
(к) н (к)) = [exp l]'1 = Nk. (18.29)
118
ПЛАЗМЕННЫЕ И СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. IV
Разделив (18.28) на число элементарных ячеек в кристалле, мы определим
вероятность того, что в элементарной ячейке спин одной из подрешеток
"перевернут". Например, в подрешетке для спина, направленного вверх,
имеем
I а (А)____
Ь к
"> - v 1 МА'У-= w 2 [(4-+ЧТ§г- т ]¦
Интересно отметить, что w@ (|) Ф 0 даже при абсолютном нуле, когда
среднее число магнонов Nk равно нулю:
При В = 0 и ka^l согласно (18.23) и (18.21)
a{k)
поэтому
W о
_Л[. _Yo 1 * (ft) V 1ц т hi ft '
