Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующего числа уровней с энергией Е%>ЕР. Состояния остальных
квазичастиц остаются при этом неизменными, поэтому описание
многоэлектронных систем с помощью функций (21.4), в которых указываются
состояния всех N электронов системы, очень громоздко. Удобно возбужденные
состояния системы невзаимодействующих квазичастиц-электронов
характеризовать указанием только состояний, занятых электронами с
энергией >?/=-, и освободившихся состояний с энергией Ek^EF. Такие
освободившиеся состояния Я называются "дырками". Переход электрона из
занятого Я состояния в свободное Я' состояние можно рассматривать как
рождение пары квазичастиц: электрона в состоянии Я' и квазичастицы-дырки
в состоянии Я. При этом основное состояние Ф0 рассматривается как
вакуумное состояние (без квазичастиц), обладающее нулевой энергией Ш0 =
Е% (суммирование по состояниям
X (< F)
с Е? ^Ef), от которой отсчитывается энергия возбуждения. Возбужденные
состояния могут соответствовать рождению и нескольких пар дырок и частиц.
Переход системы в основное состояние соответствует ""аннигиляции" пары:
дырка - частица.
Это своеобразное описание возбужденных состояний системы, ферми-частиц
называется дырочным представлением. При таком описании мы говорим об
электроне только тогда, когда он займет место, пустовавшее в основном
состоянии, оставив свободным ранее занятое состояние, т. е. образовав
дырку. Дырка по отношению к такому электрону является
античастицей.Аннигиляция дырки и электрона соответствует возвращению
электрона в прежнее состояние.
144 ОДНОЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ в КРИСТАЛЛЕ [ГЛ. V
Чтобы описать процессы рождения и аннигиляции пар квазичастиц - электрона
и дырки, введем, наряду с ферми-операторами а.1, для состояний с Ек>ЕР,
новые операторы Р?, (для Ex^-.Ek) рождения и уничтожения дырок в
состоянии Я.
Индекс Я характеризует состояние k, a, sz. Уничтожение электрона в этом
состоянии эквивалентно рождению дырки в состоянии - k, а, - sz. Это
состояние будем кратко обозначать-Я. Следовательно, операторы рождения и
уничтожения дырок связаны с операторами частиц соотношениями
Ря = а_ь Р>. = о-к, если Ek^EF. (21.22)
Вакуумное состояние в дырочном представлении определяется условиями
а?Ф0 = 0, если Е}>ЕР и р;Ф0 = 0, если /;/•,
которые указывают, что нет электронов с энергией Е-, ^>Ер и нет дырок с
энергией Е-, ^Ер.
Возбуждение связано с появлением частиц в состояниях над уровнем Ферми и
дырок в состоянии под уровнем Ферми. При этом
*.(> F)
т. е. число электронов всегда равно числу дырок.
Если энергию частиц отсчитывать вверх от уровня Ферми
ix) = Ex - EF^Q (энергия электрона), (21.23)
а энергию дырок вниз от уровня Ферми
= Ef -Ex^sO (энергия дырки), (21.24)
то энергия возбуждения электронных состояний кристалла будет определяться
гамильтонианом
ДЯ = Я-?0= 2 ^<ча}.+ 2 (21.25)
М > F) м^/')
§ 22. Классификация твердых тел на основе энергетического спектра их
одноэлектронных состояний
Функция Еа, s (к), характеризующая энергию одноэлектронных состояний, при
фиксированных а и является квазинепре-рывной функцией волнового вектора,
принимающего N значений в первой зоне Бриллюэна. Совокупность значений
Eas (k) для разных к образует полосу или зону разрешенных энергий. Эти
полосы разделяются запрещенными областями энергии или
частично перекрываются. Однако даже при перекрывании полос
КЛАССИФИКАЦИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
145
их индивидуальность сохраняется, если они относятся к разным неприводимым
представлениям фактор-группы кристалла.
При температуре абсолютного нуля электроны кристалла занимают в
соответствии с принципом Паули нижайшие одноэлектрон-
Как было указано в § 21, энергия,
Зоны проводимости
а)-
Валентные зоны
Зоны проводимости
¦В)
>г)
Валентные зоны
ные энергетические уровни, ниже которой все электронные состояния
заполнены электронами при абсолютном нуле, а выше которой все состояния
пусты, называется энергией Ферми.
Изоэнергетическая поверхность, соответствующая энергии Ферми, называется
поверхностью Ферми.
Оптические, электрические и многие другие свойства кристалла определяются
структурой энергетических полос и положением уровня Ферми.
Пусть энергия Ферми Ер лежит внутри полосы дозволенных энергий или на
верхней границе полосы, которая перекрывается с полосой, содержащей
уровни с большими энергиями.
В этом случае в непосредственной близости от EF будут располагаться
свободные состояния. В частности, под влиянием электрического поля в
кристалле электроны будут переходить в состояния, соответствующие
перемещающимся в кристалле волновым пакетам, переносящим отрицательный
электрический заряд. Твердые тела с такой структурой ваются металлами
(рис. 27).
В проводимости металла могут участвовать только электроны, имеющие
энергию, близкую к энергии Ер. Для изменения состояния "глубинных"
электронов и электронов внутренних заполненных
Зона проводимости
д)
Валентная зона
? - акцепторные уррбни, х - донорные уровни,
• - электроны, о - дырки
