Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
k
где
А (Е) = (Е ~(0 - М)/М.
Переходя в (19.33) от суммирования по k к интегрированию
/ 2л ,
[2=>^\---dx}находим 2л
ф (?>=sk ^ Т(С,%-сШ- = ж т4т§ттv*¦(?) -1 ¦ (19'34)
о
если |Л(?)[>1. Подставив (19.34) в уравнение (19.30), получаем
?"=<"+4|+ы/г+ШТ (19'35>
Таким образом, при ш0<0 отщепляется нижний уровень и тем сильнее, чем
больше ширина М зоны проводимости и отношение bw0/M; при ш0>0 отщепляется
верхний уровень.
Перейдем теперь к вычислению волновой функции отщепленного уровня.
Подставим (19.29) в (19.26). Тогда, при учете вида функции Блоха и
полагая иак (г) ^ иа (0), имеем
(г) = !Ы- i) = ? 2 лйа) + аШ * к
132
ОДНОЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ в КРИСТАЛЛЕ
[ГЛ. V
Заменяя сумму по k интегралом, для значения z > 0 получаем
2л: (
exp (ikz) ___________ 1
N ^ А (Е0) + cos ka 2л к
( у \ exp I i - х)dx
\ a j
А (?\)) -j- cos х
= [А2 (Е0) - I]-1 (уЛ2(?0)-1 -! А (Ео) |)г/0. (19.36)
Поскольку | А (Е0) | > 1, то функция 3? (?) будет иметь вид, указанный на
рис. 24, для значения |Л(?'0)| = 2. Таким образом,
Рис. 24. Г рафик функции 3 ? (г).
в состоянии с энергией Е0 электрон локализован в области нарушения
периодичности решетки. Такие состояния называют локализованными.
§ 20. Приближенные методы вычисления одноэлектронных состояний
Теоретическое вычисление закона дисперсии Еа(k) и волновых функций и ha
одноэлектронных состояний в твердых телах связано с большими
математическими трудностями даже в том случае, когда известна
функциональная зависимость среднего поля W (г) от радиуса-вектора г.
Преодолеть эти трудности удается только в простейших случаях при
использовании приближенных методов. Мы рассмотрим два наиболее часто
применяемых метода: метод приближения почти свободных и силыю связанных
электронов и метод вычисления тензора обратной эффективной массы
электрона вблизи экстремумов функции Еа (k).
20.1. Вычисление эффективной массы электрона. В области экстремума
функции Еа (U), определяющей зависимость энергии электрона от волнового
вектора k, тензор обратной эффективной массы электрона в некоторых
случаях можно вычислить методом теории возмущений. Предположим для
простоты, что экстремум
§ 20] МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОДНОЭЛЕКТРОННЫХ состояний 133
функции Еа (к) находится при значении Л0 = 0. Преобразуем уравнение
Шредингера (19.4) к виду
uktt = - b~pUka> (20.1)
P\ + W(r)-<a (*)
[2т
где
<a(k) = Ea(k)-^. (20.2)
При малых значениях k правую часть (20.1) можно рассматривать как малое
возмущение. Предположим, что мы знаем решение (20.1) без правой части
внутри одной элементарной ячейки
[2^a+W4/-)-C]ua0, = °. (20.3)
Если уровень не вырожден, то волновые функции уравнения (20.1) в первом
приближении теории возмущений можно записать в виде
h Vi k"и1"} (iC, I p., I и'°'\
~ (20-4) Д, а'
Сумма выполняется по значениям ц = х, у, z и по всем состояниям а'(Фа)
уравнения (20.3). Для всех кристаллов с центром симметрии диагональные
матричные элементы (ыа° \р^ \ ) равны
нулю. Сохраняя слагаемые, квадратичные относительно k, получим для полосы
энергий состояния а
a( ) а Т 2,п "Т" m2 ? (<и ' - * ' - '
V, ц, а*
Сравнивая (20.5) с (19.14), находим выражение для тензора обратной
эффективной массы
_т_ _ С , 2 у ("а I Ру 1 иа') (иаI к ! иа)
<ц 41""'""a' а'
Из этого выражения следует, что состояния с энергией "а-1 С вносят
положительный вклад в сумму, а состояния с энергией > fa' -
отрицательный. Поэтому тензор обратной эффективной массы может быть как
положительным, так и отрицательным. Чем 'меньше разность j |, тем
большее влияние оказы-
вает состояние а' и на эффективную массу электрона в состоянии а.
Если уровень вырожден, то при вычислении волновых функций Uia и Еа
следует применять теорию возмущений для случая вырожденных состояний.
В качестве примера вычисления тензора обратной эффективной массы
электрона рассмотрим одноосный кристалл. Направим
134 ОДНОЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ в КРИСТАЛЛЕ [ГЛ. V
ось z вдоль оси симметрии (третьего или более высокого порядка). Примем
энергию основного состояния, описываемого симметричной волновой функцией
|s), за начало отсчета энергии. Пусть "(о) - энергия двукратно
вырожденного состояния с волновыми функциями |лг), |у), преобразующимися
при операциях симметрии кристалла как координаты х и у, *i0) - энергия
состояния с волновой функцией |г), а другие возбужденные состояния
значительно выше. Тогда энергия электрона в полосе, соответствующей
состоянию |s) согласно (20.5), равна
где А = (s | рх | х) - (s | ру | у), В = (s \рг | г). Следовательно,
тензор обратной эффективной массы в этой полосе определяется равенствами
т _ т ___1_М12 т ______1 I ^Ч2
, <Г*
20.2. Приближение почти свободных электронов. Предположим, что в
уравнении Шредингера, определяющем одноэлектронные состояния,
периодический потенциал W имеет малую амплитуду, тогда его можно учесть
методами теории возмущений. В нулевом
приближении оператор Я0 = - 2т^г' ^го собственные значения
"(k) = 2^- при произвольных значениях k многократно вырождены, так как
