Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
(ЗО,
где Ci и C2 — константы, а Bi и B2 — члены, содержа-* щие лишь первые производные gyb и однозначно определяемые принципом ковариантности. Вывод этого выражения очень громоздок, и мы не будем приводить его здесь. Конечный же результат можно выразить в более геометризованной форме с помощью тензора кривизны Римана Ra$\b, рассматривавшегося Андерсоном в гл. 2.
Тензор кривизны как аналог электромагнитной напряженности в геометродинамике
Как уже говорилось в гл. 3, тензор кривизны выражает физически существенную часть гравитационного поля, что нужно понимать следующим образом. Если взять две близкие друг к другу и первоначально параллельные геодезические (мировые линии нейтральных
бесконечно малых пробных частиц), то закон их отклонения от параллельности (девиация геодезических) имеет вид
I D \ о, і гіО dx^ у. dx л /оі \
\Тя) tI + Я tIv ^T = O- (31>
Величина х\а представляет собой разность координат тех точек на этих двух мировых линиях, для которых параметр собственного времени одинаков. Производная dx^jdx равна единичному вектору, касательному к одной из мировых линий, а DjDx обозначает абсолютную производную, содержащую поправку на криволинейност^
Гравитация как геометрия (II)
157
системы координат. При этом для любого вектора Аа(т) вдоль мировой линии
Г)Ла __dAa - ра др dxv fQo\
Dx — dx +1PH dx • Ш)
Измеряя разность ца для достаточно большого числа пар мировых линий, пронизывающих одну и ту же область пространства — времени, мы можем определить все 20 различных компонент тензора кривизны1). Такое исследование, проводимое с парами нейтральных пробных частиц, в теории гравитации аналогично процедуре, применяемой в электродинамике, где напряженность электрического и магнитного полей в данной области определяют с помощью одной-единственной, но заряженной пробной частицы2).
Кривизна в случае двумерной и трехмерной сферы
Чтобы пояснить смысл тензора кривизны, рассмотрим геометрию двумерной сферы радиуса а. Две геодезические, начинающиеся на экваторе и идущие на север (dx1 Ids = O9 dx2/ds = 1), в локально евклидовой системе координат сближаются между собой строго определенным образом: (1/л1) (d2\\l/ds2) = — 1/а2. Отсюда
можно заключить, что
R1212 = Rl2\2 — ~q2~ (33)
(в локально евклидовой системе координат). Точно так же в случае трехмерной сферы радиуса а выполняются соотношения
R\2\2= Rmz= Rzm = * (34)
R\22Z = ^?1231 = ^2331 - (35)
!) То, что число независимых компонент тензора кривизны Римана равно 20, следует из его свойств симметрии, указанных в уравнениях (48) и (60) гл. 2. Число независимых компонент в пространстве п измерений равно п2(п2—1)/12 — результат, полученный Кристоффелем (вывод см. в книге [22]).
2) Характер геометрии на небольшом расстоянии от мировой линии заданной пробной частицы исследовался в работах [23, 24].
158
Глава 4
Кривизна расширяющейся Вселенной
Еще больший интерес представляет случай четырех измерений; в простейшем варианте это сферическая в трех измерениях Вселенная, радиус которой а является произвольной функцией a(t) соответствующим образом выбранного координатного времени t:
do2 = — dx2 — — dt2 + a2 (t) [dy? -f- sin2 % (d№ + sin2 0 d<p2)].
(36)
Здесь положение любой точки на нашей трехмерной гиперсфере определяется тремя углами 0, <р и %. Углы 0 и ф — обычные полярные углы сферической системы координат; они указывают, в каком направлении относительно начала координат расположена рассматриваемая точка. Угол же % указывает, на каком удалении от
начала она находится. Произведение ad% играет роль
обычного элемента радиальной координаты dr. В любой точке четырехмерного пространства можно ввести локально лоренцову систему отсчета с осями 0, 1, 2 и 3, ориентированными в направлении возрастания координат t, %, 0 и ф. Переходя к такой системе отсчета, мы обнаруживаем, что все компоненты тензора кривизны равны нулю, кроме следующих:
^?1212 = -^2323 = RmL = "^2" ( I + ^2)* (37)
Rom — -^0202 = ^?озоз — (38)
и им эквивалентных.
Взаимосвязь материи и геометрии
Тензор кривизны Римана характеризует ход изменения с течением собственного времени определенной величины— расстояния между близкими и почти параллельными геодезическими. В этом смысле он показывает, как геометрия влияет на материю.
Как же обстоит дело с обратным отношением — влиянием геометрии на материю? Спрашивается, как
Гравитация как геометрия (II)
159
геометрически с достаточной определенностью выразить символическое уравнение
.O2-Saa= i^e3t (39)
связывающее метрику с тензором энергии — импульса? Слева в этом уравнении величина, линейная по вторым производным метрических коэффициентов, должна быть линейной же конструкцией относительно компонент ри-манова тензора кривизны1). Поэтому мы потребуем, чтобы эта величина 1) выражалась через кривизну,
2) имела исключительно простой геометрический смысл и 3) простым образом была бы связана с физикой. Сначала будет полезнее рассмотреть правдоподобный, но все же неверный вариант, чтобы затем яснее показать, чем отличается правильное выражение.
