Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Гравитация как геометрия (II)
143
В настоящее время следует принять, что вся физика построена по такому принципу — и не только механика систем частиц, но также динамика электромагнитного поля и динамика геометрии, или «геометродинамика», как можно одним словом охарактеризовать общую теорию относительности.
Начальные значения в электродинамике
Электродинамика может послужить хорошим источником аналогий при обсуждении геометродинамики. При решении какой-либо проблемы в теории относительности часто1) бывает полезно 1) перевести эту проблему в соответствующую ей проблему электродинамики;
2) проанализировать последнюю; 3) перевести полученный ответ в соответствующее утверждение геометродинамики; 4) проверить полученный таким путем («на ощупь») ответ с помощью прямых методов.
На этом пути целесообразно рассмотреть начальные данные, необходимые (наряду с заданием уравнений Максвелла) для выяснения всей истории электромагнитного поля. Эти данные часто задаются в два приема, а именно 1) в пространстве — времени выбирается пространственноподобная гиперповерхность, что аналогично выбору конкретного начального момента времени в механике, и 2) на выбранной гиперповерхности повсюду задается величина напряженности магнитного поля (аналог координат в механике) и напряженности электрического поля (аналог импульса в механике). Следует проверить «приемлемость» этих начальных данных, т. е. обращается ли в нуль дивергенция каждой из этих напряженностей (в случае пустого пространства). Если да, то говорят, что начальные значения удовлетворяют соответствующим условиям. Этих данных доста^ точно для определения всей эволюции электромагнитного поля в прошлом и в будущем.
х) He преуменьшая, но и не преувеличивая роли метода аналогий, можно сказать, что он полезен именно тогда, когда рассматриваемая аналогия объективно имеег местр. — Прим. реф.
144
Глава 4
Внутренняя трехмерная геометрия и внешняя кривизна пространственноподобной гиперповерхности
Подобным же образом в геометродинамике приемлемые начальные данные на пространственноподобной гиперповерхности сводятся 1) к трехмерной геометрии, являющейся «внутренней» (или «собственной») для этой гиперповерхности (ср. с магнитным полем в электродинамике), и 2) к «внешней» кривизне этой гиперповерхности — указанию, как именно она искривлена (или должна быть искривлена) по отношению к окружающему ее четырехмерному пространству — времени, которое еще надлежит найти (ср. с электрическим полем). Такова в двух словах суть современного понимания гео-метродинамики.
Метод формулировки типичных задач общей теории относительности был установлен лишь задним числом
Исторический путь развития геометродинамики отнюдь не был столь гладким, как можно было бы думать на основании сказанного выше. До последнего времени1) даже не предполагалось, что задача начальных значений в геометродинамике имеет много общего с задачей начальных значений в электродинамике. И только после того, как это было осознано, стало понятным, где «зарыта собака» в теории относительности. До того как был сделан этот шаг, было неизвестно, какие стороны четырехмерной геометрии могут задаваться произвольно, а какие являются следствиями уже заданных.
*) Об уравнениях, которым должны удовлетворять трехмерная геометрия, внутренняя по отношению к пространственноподобной гиперповерхности, и «внешняя» кривизна этой гиперповерхности относительно окружающей ее (и еще подлежащей построению) четырехмерной геометрии, если эти величины должны быть взаимно совместными частями полного набора начальных данных, см. работы [5—10]. «Бутербродная формулировка» задачи начальных значений («тонкий сэндвич») как способ решения этой проблемы, а также связь этого решения с идеей Маха о происхождении инерции рассмотрены Байерлейном, Шарпом и Уилером [10] и Уилером (гл. 15).
Гравитация как геометрия (II)
145
Поэтому было неясно даже, как сформулировать типичную динамическую задачу, а уж тем более — как ее решить. Прогресс в нашем понимании этих проблем отражается уже в том, что теорию, созданную первоначально Эйнштейном, мы называем теперь не общей теорией относительности, а «геометродинамикой».
Содержание лекции
Чтобы дать более точное представление о том, что такое геометродинамика, мы рассмотрим в данной лекции следующие четыре вопроса:
1) физические основания эйнштейновских уравнений поля;
2) задачу начальных значений;
3) решение задачи начальных значений (а тем самым и уравнений Эйнштейна) в иллюстративных целях для простейшего случая «геометрии Шварцшильда»;
4) движение пробной частицы в этой геометрии и его связь с проверкой теории Эйнштейна.
Вывод эйнштейновских уравнений поля
Естественным подходом к теории Эйнштейна является принцип соответствия с теорией тяготения Ньютона. Поэтому мы постулируем, что каждая нейтральная пробная частица движется по геодезической в четырехмерном римановом пространстве. Потребуем, чтобы определенное таким образом движение в случае малых скоростей и слабого отклонения нашего мира от плоского сводилось к движению, описываемому законами Ньютона. В дополнение к принципу соответствия между геометрией Эйнштейна и тяготением Ньютона мы потребуем, чтобы действие массы осуществлялось чисто геометрически, путем искривления пространства — времени. Иначе говоря, уравнения Эйнштейна должны указывать, как влияет масса на геометрию. Ho в них не будет никакой информации относительно координат, с помощью которых можно было бы при желании выразить эту геометрию. В принципе взаимосрязь адассы и
