Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Цзю Х. -> "Гравитация и относительность" -> 52

Гравитация и относительность - Цзю Х.

Цзю Х., Гоффман В. Гравитация и относительность — М.: Мир, 1965. — 543 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyaiotnositelnost1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 166 >> Следующая


1. Зададим трехмерную пространственноподобную геометрию (3)а?, указав, например, шесть метрических коэффициентов Wgik (t, k—\, 2, 3) как функции трех координат Xі, X21 х3. В геометродинамике, как и в электродинамике, это Делается в два приема: выбирается пространственноподобная гиперповерхность и на этой гиперповерхности задается магнитное поле (так называемые полевые координаты электродинамики). Тогда остается лишь определить «полевой импульс» — аналог электрического поля — на этой гиперповерхности.

') Cm. примечание на стр. 144:

ClivB = O1 divE = 0

(60)

(61)
Гравитация как геометрия (И)

169

Внешняя кривизна

2. Определим внешнюю кривизну Kik рассматриваемой гиперповерхности (так называемую вторую фундаментальную форму1)), указав, как искривлена гиперповерхность по отношению к окружающему ее четырехмерному многообразию, которое нам еще предстоит определить. Для наглядности напомним, что внутренняя геометрия листа бумаги остается евклидовой, как бы мы ни изогнули этот лист. Кривизна при таком изгибе будет чисто внешней и связана с тем, как этот лист бумаги расположен в окружающем его трехмерном пространстве. Для более точного введения внешней кривизны мы восстановим в точках х1 (t=l, 2, 3) и xi + dxi временноподобные нормали абсолютной длины dx. Построим вектор от конца первой нормали до конца второй. Вернем этот вектор на исходную гиперповерхность путем параллельного переноса. Мы увидим, что он не совпадает с вектором dx1 между основаниями наших двух нормалей. Вместо этого его компоненты можно записать как

dx1 + Kidxk dx. (62)

Это выражение и определяет тензор внешней кривизны Kik. Если в течение интервала собственного времени dx следить не за двумя пробными частицами, а за целым их скоплением, то относительное изменение объема этого скопления даст величину

(/Cl + KrHr Kl) dx = (Sp К) dx. (63)

Здесь символ Sp К обозначает след (свертку) тензора внешней кривизны. Более точную меру деформации скопления пробных частиц, происходящей с течением собственного времени, дает нам «второй инвариант внешней кривизны» — величина

K2 = (SpAT)2 -Sp К2 = (Ktf-KitKl (64)

1I Cm., например, [22], разд. 43.
170

Глава 4

Уравнения для начальных значений

3. После того как внутренняя геометрия и внешняя кривизна гиперповерхности заданы, уравнения Эйнштейна однозначно определяют всю прошлую и будущую эволюцию геометрии, если только начальные данные удовлетворяют уравнениям для начальных значений

или в (3+1)-мерном виде, который часто оказывается более удобным !),

Суть уравнений Эйнштейна — в уравнениях для начальных значений

В уравнении (66) выражается вся суть общей теории относительности. Мы будем использовать его как уравнение для начальных значений, но оно справедливо в любой точке P пространства — времени. Рассмотрим аналогичные уравнения электродинамики

Их смысл в том, что силовые линии нигде не кончаются. Возьмем произвольную точку P пространства—времени и проведем через нее пространственноподобную гиперповерхность, наклон которой может быть любым. Потребуем, чтобы при любом наклоне силовые линии на этой гиперповерхности нигде не оканчивались. Из требования о том, чтобы силовые линии никогда и нигде не

(65)

/C2 = 2 —?4— X (Плотность энергии). (66)

divE = 0, divB = 0.

(67)

1J В уравнении (66) символ \k обозначает ковариантное диф ференцирование по &-й координате относительно геометрии трехмерного многообразия.
Гравитация как геометрия {И)

171

оканчивались, мы получим все уравнения Максвелла. Подобным же образом одно-единственное требование

(66), состоящее в том, что сумма внутренней скалярной кривизны и второго инварианта внешней кривизны должна давать умноженную на коэффициент 16jxG/c4 плотность энергии, если его распространить на случай любой гиперповерхности, проходящей через произвольную точку Р, заключает в себе все содержание уравнений Эйнштейна.

Почему существенна кривизна гиперповерхности?

В случае электродинамики гиперповерхность, проходящую через точку Р, достаточно охарактеризовать ее наклоном. Это соответствует тому, что для определения электромагнитных сил достаточно одиночной пробной частицы. Гравитационные же силы определяются через изменение расстояния между двумя пробными частицами. Поэтому-то и приходится задавать не только наклон, но и кривизну гиперповерхности, по нормали к которой идут мировые линии.

Приложение к частному случаю геометрии, симметричной во времени

Продемонстрируем теперь действие аппарата общей теории относительности. Для этого мы выберем пример попроще. Пусть внешняя кривизна исходной пространственноподобной гиперповерхности будет равна нулю. Тогда предсказываемая на основании уравнений Эйнштейна геометрия четырехмерного пространства — времени будет симметричной во времени в том смысле, что любое явление в таком мире, происшедшее после определенного момента, окажется зеркальным отражением того, что произошло уже до этого момента1). Таким образом, внешняя кривизна К? равна нулю. Ограничимся
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 166 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed