Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
JQ Ззк. J74Q
146
Глава 4
геометрии можно выразцть в форме, не содержащей никакого упоминания о координатах (подобно тому как в теории групп свойства группы рассматриваются на основе соответствующей «таблицы умножения», не имеющей никакого отношения к конкретному представлению группы через матрицы). В общей теории относительности не был, однако, сделан такой шаг, как в теории групп, и при рассмотрении ее проблем не использовалось бескоординатное представление (подобное «силовым линиям» Фарадея). Поэтому на практике вошло в привычку пользоваться координатами при записи уравнений Эйнштейна. При использовании координат требование чисто геометрической связи между массой, находящейся в одном месте, и геометрией в прочих местах нельзя свести к требованию ковариантности уравнений поля1). Необходимо еще, чтобы десяти уравнений Эйнштейна было недостаточно для определения десяти неизвестных метрических коэффициентов («принцип слабости уравнений поля», см. гл. 1 и 2). Почему? Потому что все десять компонент метрики определяют не только геометрию, но и систему координат2), в которой она
1J Одной только ковариантности недостаточно. Уравнение поля в форме Ra^—A,gap = const • 7^ в той же мере инвариантно по отношению к замене координат, что и уравнение Ra^— V2gap/? =* = (8nG/c4)Ta?. Первое уравнение, однако, не обеспечивает чисто геометрической взаимосвязи между геометрией и плотностью энергии — импульса — натяжений в отличие от второго.
2) Это утверждение неверно. Примеры: 1) метрика Минков-ского «определяет» систему координат с точностью до шести произвольных параметров, т. е не определяет ее; 2) метрика
ds2 = — dx12 — sin2 Сх1 — хА) dx22 — sh2 (л:1 — х4) dx32 + dx4\
удовлетворяющая уравнениям поля Эйнштейна в пустоте, при за-
мене координат
¦Xі = ~2 Х'Х 4“ ~2 хА "Ь а» х2 = х'2 + Ь,
X3 — х'3 4- Cy
л I /I I 3 /4 , .
~2Х х
не меняет своего вида, т. е. десять компонент метрики не изме-
няются, а система координат будет другая. Таких примеров можно
указать бесчисленное множество. — Прим. ред.
Гравитация как геометрия (II)
147
выражается, что противоречит требованию чисто геометрического содержания этой теории.
Мы обсудили два стержневых принципа теории Эйнштейна — принцип соответствия с теорией Ньютона и требование чисто геометрического содержания новой теории. Уточним теперь содержание принципа соответствия, обратившись к уравнению геодезической линии.
Геодезическая как путь, которому соответствует экстремальное собственное время
К понятию геодезической проще всего подойти на примере путешествия от точки А до точки В на поверхности земного шара. Возьмем произвольную линию, соединяющую обе точки. Разобьем ее на участки, каждый из которых соединяет между собой две близкие точки, причем длина каждого участка считается известной. Положение путешественника, находящегося в пути, определяется сложением длин всех пройденных им от начала пути отрезков. Для мировой линии в пространстве— времени аналогичную роль играет текущее собственное время т, так что
Данная точка
T= J Л = JVt*)1* =
Начало
= / (- = J (- і(ф dxa dxY. (I)
С помощью этого параметра мы можем задать рассматриваемую мировую линию как систему четырех функций
Xa = Xa(X). (2)
С тем же успехом, что и т, для указания точек, лежащих на мировой линии, может быть использован любой
другой параметр А,, если он монотонно возрастает вдоль мировой линии:
Xa = Xa(K), (3)
10*
148
Глава 4
причем
fj dxa dx^y12 /Л\
T= J і-^-їг-згі dk• (4)
A,=0
Все сказанное относилось к произвольному пути. Среди множества всевозможных путей, связывающих точки А и В, существует один экстремальный: он не изменяет своей длины в первом порядке по степеням малой величины е, когда форма его изменяется в этом по-
рядке:
(I) -> (К) + г6ха (А), (5)
где
{X = Я
і = х' (б)
Запишем интервал собственного времени, истекший на измененном таким образом пути, в виде
= xZ + етлв + Z2xZ + • • • • (7)
Величина х^в зависит, во-первых, от формы исходного пути, а во-вторых, от его вариации 6ха(А,). Ho в том случае, когда функции л:а(А) являются экстремальными, х(ав равняется нулю при произвольном выборе четырех вариаций 6ха(Х) (если они обращаются в нуль в точках А и В).
Квантовая подоплека классического принципа экстремума
Почему природа предпочитает экстремальный путь? Каким образом частица «выявляет» среди различных путей (историй) сквозь пространство — время тот, который соответствует экстремальному изменению собственного времени, и выбирает именно его? Ответ на этот вопрос дает квантовая теория, и лучшая форма ответа содержится в фейнмановской формулировке принципа квантования [11—21]1).
1J Этот принцип получил развитие в работах Г. В. Рязанова [ЖЭТФ, 33, 1437 (1957); 35, 121 (1958]]. — Прим. перев.
Гравитация как геометрия (11)
149
«Полная амплитуда вероятности перехода от данной начальной конфигурации А к данной конечной конфигурации В» представляет собой сумму вкладов всевозможных путей Я, соединяющих обе конфигурации. Отдельные амплитуды для всех путей совпадают по абсолютной величине. Фаза же вклада некоторого данного пути определяется соответствующим этому пути интегралом действия /н, поделенным на квант момента импульса Ь. В данном случае интеграл действия дается выражением
