Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Гравитация как геометрия (I)
129
Более общие сравнения
Сделаем еще несколько замечаний. Нет необходимости, чтобы интервалы AB и CD были временноподобными. Например, когда интервал AB пространственноподобный, то это просто значит, что число Ni будет отрицательным. Другими словами, световой импульс в направлении В должен быть испущен до того, как произошло событие А. Подобные же соображения относятся и к знаку числа N3. Следовательно, можно дать простое физическое истолкование мнимому значению отношения, фигурирующего в формуле (10): в этом случае один из интервалов AB и CD пространственно-, а другой временноподобный. Можно, кроме того, сравнить интервалы AB и CD даже в том случае, если Л и С не-возможно связать временноподобной мировой линией. Для этого следует лишь выбрать новое событие E1 лежащее так далеко в будущем и так расположенное в пространстве, что как AE1 так и CE временноподобны, и взять дополнительно событие F достаточно близко к Е. Тогда отношения EFjAB и EF/CD можно найти прежним способом, а отсюда мы найдем и отношение CDtAB.
Еще одно замечание: через величину стандартного интервала AB можно выразить все другие интервалы, как пространственно-, так и временноподобные. Между единицами, используемыми для выражения величины интервалов длины и интервалов времени, нет никакой разницы. Величина 3* IO8 нигде не фигурирует. Во вну* тренней геометрии физики значение световых лучей и светового конуса более явственно выступает на поверхность. Истинная роль скорости света здесь уже не смешивается с тривиальным соотнесением двух различных единиц интервала — метра и секунды, имеющих чисто историческое и случайное происхождение.
Случай искривленного пространства — времени
(5) Перейдем теперь к сравнению интервалов AB и CDy отделенных друг от друга во временноподобном направлении большим участком искривленного простран-
9 Зак. 1740
130
Г лава S
ства— времени. Как и прежде, найдем траекторию AC бесконечно малой нейтральной пробной частицы, свободно движущейся от Л к С. Найдем вторую геодезическую, параллельную AC в точке Л, с помощью уже описанных нами методов. Если мы теперь попробуем использовать такую пару геодезических, как два «зеркала» для световых импульсов, с тем чтобы получить
Время
Время
Пространство
Пространство
Фиг. 3.8. Если в работу геодезических часов не внесена поправка, то интервал между последовательными тиканьями в области, где эффективная кривизна отличается от нуля и практически постоянна, изменяется пропорционально квадрату прошедшего времени dl
Изображенные слева сходящиеся геодезические соответствуют области положительной кривизны; справа изображены расходящиеся геодезические (область отрицательной кривизны).
геодезические часы, то у нас ничего не выйдет. Ввиду искривленности пространства — времени расстояние между геодезическими меняется (фиг. 3.8).
Меняется и период наших часов. Пусть, например, геодезические имеют протяженность d в области пространства, где эффективный радиус кривизны имеет порядок R. Тогда относительное изменение периода часов будет порядка
44*)’¦ <»>
Эта погрешность геодезических часов будет недопустимо велика, если не вводить поправки на всем участке
Гравитация как геометрия (I)
131
d=L между AB и CD, где величина L сравнима с самим радиусом кривизны.
Вместо того чтобы безуспешно пытаться применять геодезические часы для измерения всего интервала, мы
Фиг. 3.9. Каждая из множества геодезических MNi OP и т. д. остается параллельной данной геодезической AC на протяжении, достаточном для последовательного переноса в будущее интервала времени T с требующейся степенью точности.
разобьем его на N малых интервалов (фиг. 3.9) сравнимой длительности d=L/N. В каждом таком интервале будем использовать свои геодезические часы. Тогда относительная ошибка каждых часов будет порядка
'D
(12)
9*
132
Глава З
Расхождение между периодом тиканья в конце и в начале будет порядка
(4=-1(,3)
Эта погрешность может быть сделана сколь угодно малой, если взять достаточно большое количество N отдельных геодезических часов. Таким образом, искривленность пространства — времени не вызывает затруднений при сравнении с любой степенью точности произвольным образом разделенных интервалов с использованием световых лучей и геодезических.
Квантовые эффекты
Все сказанное выше относится к достаточно большим масштабам, так что квантовыми эффектами можно пренебрегать. Общая теория относительности рассматривается нами в рамках классической физики. Хотя квантовые эффекты и представляют интерес, на них мы останавливаться не будем (см. работы [4—7]).
Отношения длин не зависят от пути переноса
Перейдем теперь к главному вопросу. Определим величину отношения CDIAB, пользуясь сначала одним путем переноса для сравнения, а затем другим (фиг. 3.10). Сравним обе получившиеся таким образом величины. Совпадут ли они? Расхождений еще никто и никогда не наблюдал. Поэтому мы можем принять основной постулат римановой геометрии, что отношение CDfAB не зависит от выбора пути переноса при сравнении.
