Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Ih- — mcxAB- (8)
Значит, фейнмановская амплитуда перехода имеет вид символической суммы («функционального интеграла по всем путям» с нормирующим множителем о/Г)
(Амплитуда вероятности перехода из А в В) =
О)
H
Ho те пути, которые сильно отличаются от экстремального пути классической физики, не вносят в эту сумму существенного вклада. Их фаза настолько отличается от экстремальной, что вклады таких путей компенсируют друг друга в результате интерференции. В типичных случаях полной амплитуде соответствует практически та фаза, которая имела бы место, если бы движение следовало исключительно классическому пути. Выяснение того, что природа лишь как нам кажется выбирает классический путь в качестве предпочтительного, а на самом деле полностью учитывает все возможные пути, это великое достижение квантовой теории. Стало наконец понятно, почему во всей физике вообще действуют экстремальные принципы, частным случаем которых является требование прямолинейности движения или движения по геодезической. Мы видим, как глубоко смотрел Ньютон, утверждая в начале своих «Принципов», что «...описание прямых и окружностей, на которых основывается геометрия, принадлежит механике. Геометрия не обучает нас, как рисовать эти линии, а требует, чтобы они уже были нарисованы».
150
Г лава 4
Уравнения Эйлера — Лагранжа для геодезической линии
Перейдем от физического смысла экстремального принципа к следствиям этого принципа. Приведем подлежащий варьированию интеграл к виду
в
хАВ= /і(х°(Х), 4j?-)dX. (10)
Тогда уравнения Эйлера — Лагранжа для экстремаль-ного пути будут иметь вид
d dL -ёг=°- (11)
dX д (dxa/dl) дха
Перепишем эти уравнения, пользуясь обозначениями
г* ____ 1 (д?уо I \ /1 о\
rpv-а -1 (12)
и (взяв gaa как матрицу, обратную ^llv)
Пч=ёаЪч,о (13)
(символы Кристоффеля; обе эти величины являются нетензорными). Кроме того, перейдем в производных уравнения (11) от общего параметра А, к собственному времени T1)
d _ dx d _( dxa dx$ V/a d
dX dX dx \ dX dX ) dx
В результате получим дифференциальное уравнение геодезической линии (гл. 1 и 2)
d2xa , p,a dx& dxy n ,. ..
+ = a (14)
1J В случае движения фотонов, когда геодезические будут
изотропными, придется говорить о каноническом параметре т, который не допускает такого простого истолкования. — Прим. ред.
Гравитация как геометрия (II)
151
Переход к случаю малых скоростей и мира, мало отличающегося от плоского
Для того чтобы получить в уравнении (14) всего лишь одну компоненту величины d2x/dr2, нужно сложить 16 членов. Мы перейдем, однако, к случаю медленно движущейся частицы в почти плоской области пространства — времени (g««l, goo~ — 1, gap—Опри a=?P). Иными словами, мы будем пренебрегать величинами
(латинские индексы используются для пространственных компонент, а греческие — для пространственно-временных) по сравнению с единицей, а также будем пренебрегать разностью dx°/dr— 1. Тогда уравнение геодезической приводится к простому виду
Ограничимся, кроме того, случаем геометрии, статической относительно выбранной системы координат, как, например, геометрия пространства, окружающего наше Солнце. Тогда из уравнений (12) и (13) следует, что уравнение геодезической можно записать в виде
Сравним геометрию Эйнштейна с механикой Ньютона, вспомнив, что в случае медленно движущейся частицы можно приравнять друг другу собственное время Xm (в метрах) и обычное координатное время tceK (в секундах) или ct ceK = tM (в метрах); тогда
y,k I j2 „Л і / /9 \
__— — _ ___ — _ /-----------------) х (Гравитационный потенциал) =
dxI dtIeK C2 V дх" I
(15)
(16)
Ci2Xk _ I dgBB
(17)
dx2 2 дхк '
(18)
Здесь m (в килограммах) или т* (в метрах) тождественно равно Gm/c2 массе Солнца или другого цед-
152
Глава 4
тра притяжения, аг — расстояние от этого центра до пробной частицы. Сравнивая уравнения (17) и (18), найдем, что 00-компонента метрического тензора совпадает с ньютоновским гравитационным потенциалом qpG с точностью до постоянного множителя и аддитивной константы. Константу эту можно определить так, чтобы геометрия давала лоренцово пространство — время на больших удалениях от притягивающего центра. Значит,
2т* 2 Gm 2фл
= = = (19)
Связь между 00-компонентой метрики и массой — энергией
Линейность выражения (19) по отношению к величине источников поля (в рассматриваемом здесь приближении) позволяет распространить формулу (19) на случай пространства — времени, содержащего большое число покоящихся или медленно движущихся источников, локализованных или непрерывно распределенных в пространстве. Для описания этих источников целесообразно ввести плотность распределения массы р (кг/мг). Связь между распределением массы и ньютоновским потенциалом дается уравнением Пуассона
V2q)0 = — 4л Op. (20)
Из этого уравнения следует уравнение для g0o — первого из десяти гравитационных потенциалов Эйнштейна:
V2^00 = — — — SnGm (Плотность массы — энергии).
(21)
Векторный характер соответствующего источника в электродинамике
