Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Гравитация как геометрия (I)
137
самой содержит свой собственный способ определения интервалов пространства и времени (относительно некоторого геометродинамического стандартного метра) независимо от того, изменяются ли с течением времени такие физические константы, как m, М, е и hy или нет.
Конкретное предложение, касающееся введения геометродинамического стандартного метра
Рассмотрим еще один, последний вопрос: пойдет ли вообще когда-нибудь развитие техники измерения в таком направлении, что удастся заменить эталон, использующий свойства Kr86, как и платиново-иридиевый метр, геометродинамическим стандартным метром, основанным на инвариантно определенном интервале AB между двумя событиями Л и В, происшедшими когда-то в прошлом? Ответ: уже на данном этапе можно определить геометродинамический метр. События А и В это равноденствия, определившие начало и конец тропического года 1900,0. Этот интервал переносится вперед во времени мировой линией Земли по мере того, как она движется по своей орбите, с учетом поправок на влияние других тел Солнечной системы. Степень точности, с которой этот интервал может быть перенесен в будущее, представляется значительно большей, чем точность, с которой может быть воспроизведен эталонный метр с Kr86, насколько можно судить по числу значащих цифр, приводимых для этих двух случаев [8]:
1 м = 1 650 763,73 длины волны оранжево-красной линии Kr86;
1 СЄК ~ 31 556 925,974 тРопического г0«а 1900*°-
Кроме того, измерение скорости света [9], или множителя перевода из секунд в метры, может быть произведено с точностью до шестого знака:
? = (299 793,0 ± 0,3) • IO3 м/сек.
Поэтому уже теперь мы можем определить геометродинамический стандартный метр как 1/9,460546* IO15 часть интервала между двумя «эффективными равно-
138
Глава З
действиями», служащими началом и концом тропического года 1900,0.
При наличии такого геометродинамического эталона длины становится более конкретным вопрос о том, не изменяются ли в результате медленного изменения т, М, не также в отдельности или вместе криптоновым эталон или платиново-иридиевый метр [10—12].
Приложение
Критерий того, что совокупность (N + 1) точек определяет N-мерное евклидово пространство
Определяют ли (N+l)N/2 расстояний между N +1 точками обобщенный треугольник и тетраэдр, т. е. N-мерный симплекс евклидова пространства? Если да, то объем V этой фигуры должен отличаться от нуля. Можно напомнить обычный ход рассуждений о величине этого объема. Казалось бы, что он покоится на использовании конкретной системы координат, однако конечный результат выражается лишь через длины, но не через координаты. Обозначим точки через 0, 1,2,..., А/. Выберем точку 0 в качестве начала, а координаты &-й точки назовем ks (5=1, 2, ..., N). Тогда площадь треугольника равна
1 Ii I2
2 2, 22 ’
объем тетраэдра составляет
Ь І2 1з
g- 2] 22 23
23
З3
з
3] 32 З3
а объем iV-симплекса
I раеитация как геометрия (J)
139
Перепишем это выражение, поменяв местами строки и столбцы. Перемножим оба получившихся выражения, вспоминая, что произведение детерминантов равно детерминанту произведения соответствующих матриц. Элемент і-й строки и /г-го столбца полученного произведения является скалярным произведением вектора (Oi) на вектор (Ой):
(О/) • (Ok) = 2 /Л-
^=I
В плоском пространстве такое скалярное произведение выражается формулой, знакомой из тригонометрии:
(Oi) • (Ok) = I [{ikf - (0if - (OA)2].
Поэтому в стандартном выражении объема фигурируют лишь длины:
v = in
(Ol)2 (01) • (02) ...
(01)-(02) (02)2 ...
(0 Nf
1/2
Полученная формула применима как в лоренцовом, так и в евклидовом мире. Равенство V нулю при ЛГ>5 дает
1) способ проверки в случае близких друг к другу событий того, что действительная размерность мира равна 4; 2) вывод того факта, что расстояния между соседними точками могут быть определены из 4 координат и 10 компонент gap; 3) способ показать наличие кривизны, когда пять или более точек достаточно удалены друг от друга (когда объем Vb не равен нулю не потому, что размерность равна 5, а потому, что кривизна отлична от нуля!). (Это замечание связано с введением в тексте метрических коэффициентов.) Cm. работу [13], где проанализированы условия, при которых совокупность вещественных чисел является совокупностью расстояний между точками в совокупности точек евклидова пространства.
140
Глава 8
ЛИТЕРАТУРА
1. Bohr N., Rosenfeld L., Kgl. Danske Videnskab. Selskab., Mat--Fys. Medd., 12, No. 8 (1933); Phys. Rev., 78, 974 (1950)
(цитируется в связи с обсуждением того принципа, что каждая непротиворечивая теория определяет сама по себе и в себе самой средства измерения тех величин, с которыми эта теория имеет дело).
2. W е у I H., Raum-Zeit-Materie, I. Aufl., Berlin, 1918 (относи-
тельно проведения измерений с помощью световых лучей; содержит также предложенную Вейлем единую теорию).
3. L о г е n t z Н. A., Collected Papers, vol. 5, The Hague, 1937, p. 363 (доказательство того факта, что как геометрия с ?ар(*Ь
