Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
1. Следует взять элементарный трехмерный объем.
2. В качестве двумерного элемента поверхности это* го объема рассматривается rfSaP.
3. Перенести вектор Av параллельным образом вдоль одномерной границы вокруг этой двумерной
1J Далее см. гл. 1 и 2, а также [25, стр. 177] и особенно [27, стр. 324—325]. То обстоятельство, что в нуль обращается ковари-антная, а не частная дивергенция, означает, что электромагнитное поле может отдавать свою энергию геометрии и вновь получать энергию от геометрии. В принципе можно представить себе электромагнитную волну, сходящуюся в данной области из удаленных областей, тогда как остальное пространство остается плоским. Плотность энергии в данной области очень быстро и очень сильно возрастает, в результате чего излучаются сильные гравитационные волны, а затем электромагнитная волна снова расходится и уходит в бесконечность, но уже со значительно меньшей энергией.
Гравитация как геометрия (II)
163
поверхности. Рассматриваемый вектор тогда изменится на
ЬА* = R^dSPA6. (47)
4. При сложении таких изменений для всех элементов dSaP на замкнутой границе трехмерной области получится результат, равный нулю (и поэтому не представляющий геометрического интереса). Причина этого проста: каждый двумерный элемент поверхности отделяется от другого одномерной границей, и мы проходим по этой линии дважды, каждый раз в противоположных направлениях. Таким образом, полный вклад вихревого движения вектора Av тривиально обращается в нуль. Нам уже знаком аналогичный вывод из элементарного векторного анализа: интеграл ротора вектора В по двумерной поверхности, ограничивающей трехмерную область, тождественно равен нулю:
J f [VB] -AfS = O. (48)
Здесь нуль получается при сложении скаляров. В случае же кривизны берется сумма векторов AAv и также получается нуль. Ho этот результат не зависит от конкретного выбора вектора Av. Отсюда можно заключить, что геометрическая сумма матриц поворота
FmdSa* (49)
на всей двумерной поверхности трехмерного элемента равна нулю. Говоря «геометрическая сумма», мы имели в виду, что эти матрицы поворота должны быть предварительно подвергнуты параллельному переносу в одну и ту же точку. Далее Картан указал, как из этого простого тезиса следуют тождества Бианки. В конечном счете получается
^?ба|3; а 4“ R баа; pH- R\$o;a = 0. (50)
Понятие момента вращения
5. Матрица поворота (49), соответствующая данному элементу двумерной поверхности, может быть уподоблена вектору силы в элементарной механике. Сумма
П*
164
Глава 4
этих поворотов равна нулю так же, как обращается в нуль результирующая сила. Ho в механике существенны не только сами векторы, но и линии действия этих сил. Иными словами, нужно учитывать моменты сил. По аналогии Картан предлагает рассматривать некоторый момент вращения (49). Величину (49), характеризующую вращение, можно представить себе как бивектор или элементарную двумерную поверхность (лист). Ориентация этой двумерной поверхности (а она может отличаться от ориентации элемента поверхности dSa$) указывает плоскость поворота, а ее площадь (в безразмерных единицах радианах) указывает величину этого поворота. Выберем какую-нибудь точку Р, относительно которой и будем вычислять аналог момента. Где именно будет эта точка, безразлично. В механике это тоже не играет роли в том случае, когда векторная сумма сил равна нулю. Вместе с бивектором поворота, сопоставленным элементу поверхности, радиус-вектор от точки P до этого элемента поверхности определяет элементарный параллелепипед. Он и является картанов-ским моментом.
Момент вращения может быть определен как скаляр на трехмерном многообразии
6. В трехмерном мире такой момент описывается одним-единственным числом — объемом этого параллелепипеда. Сумма таких чисел, соответствующих всем элементам двумерной поверхности, охватывающей рассматриваемый трехмерный объем, пропорциональна величине этого объема. Коэффициент пропорциональности (с точностью до численного множителя) равен скалярной кривизне WR трехмерного многообразия в рассматриваемой точке.
Момент вращения оказывается вектором в четырехмерном многообразии
7. В четырехмерном пространстве — времени рассматриваемый трехмерный элемент объема с?3аа может быть представлен как четырехмерный вектор, нормаль-
Гравитация как геометрия (!I)
165
ный к этому трехмерному объему. Если объем чисто пространственноподобный (как, например, dxdydz), то наш четырехмерный вектор — чисто временноподобный:
d*6a = (dzOfr d*ou d3a2, rf3a3) = Y —g(dx dij dz, 0, 0, 0).
(51)
Складывая картановы «моменты кривизны» для всех двумерных элементов, замыкающих данный трехмерный элемент, мы получим полный «момент кривизны», который 1) пропорционален величине нашего трехмерного элемента, 2) сам обладает свойствами трехмерного элемента и 3) может быть поэтому сам описан с помощью некоторого вектора, скажем d3соа. Картан показал, что вектор, определяющий момент кривизны, связан с вектором, изображающим рассматриваемый трехмерный элемент, соотношением
