Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Волновые решения уравнений Эйнштейна в приближении слабого поля
(4)
(5)
(6)
Рассмотрим теперь решения для случая слабого поля. При выводе этих решений будем считать, что пространство почти плоское и метрика почти лоренцова. В таком
Гравитационные волны
183
случае метрический тензор можно записать в виде суммы лоренцова метрического тензора и малой величины первого порядка малости:
Определим также вспомогательную величину ср^:
где ha означает след А. Можно показать, что величина первого порядка малости ф* удовлетворяет известному нам волновому уравнению
если выполняется дополнительное условие
В уравнении (9) ? <р? — даламбертиан от q>?, а —
члены наинизшего порядка в разложении Tvll-
Исходя именно из этих уравнений, решали проблему излучения Эйнштейн и позднее Эддингтон. По своей форме эти уравнения совпадают с соответствующими уравнениями электродинамики. Поэтому следует ожидать, что тензор энергии — импульса будет играть в гравитации ту же роль, что и четырехмерный вектор тока в теории электромагнетизма. Он должен являться источником гравитационного поля, а следовательно, и источником гравитационных волн.
В 1939 г. аналогичная система уравнений была получена Паули и Фирцем, исходившими из совершенно иных соображений. Паули и Фирц исследовали релятивистские волновые уравнения для частиц со спином, большим х/2. Они установили, что свободным частицам со спином 2 и нулевой массой покоя соответствуют следующие волновые уравнения:
(7)
(8)
(10)
? Ф? = 0,
184
Глава 5
Уравнения (11) совпадают с уравнениями (9) и (10) для вакуума, и в этом совпадении нет ничего удивительного. В самом деле, для описания частиц со спином 2 необходима десятикомпонентная волновая функция (пять проекций спина и удвоение вследствие того, что возможны как положительные, так и отрицательные значения энергии). У симметричного же тензора второго ранга как раз десять независимых компонент, и, следовательно, он может служить подходящим представлением десятикомпонентной волновой функции.
Поскольку в вакууме обе системы уравнений [(9) и (10), с одной стороны, и (11) —с другой] совпадают :по форме, отсюда можно заключить, что частицы, соот-іветствующие гравитационному полю, — гравитоны — имеют спин, равный 2. Так как гравитационное поле имеет бесконечное число степеней свободы, то отсюда вытекает также, что масса покоя гравитона равна нулю.
!Поляризация гравитационных волн
Возвращаясь к уравнению (4), поставим перед собой следующий вопрос: сколько параметров необходимо для описания поляризации гравитационной волны, распространяющейся в заданном направлении? На этот возрос можно ответить, если исследовать структуру тензора кривизны /?ару» который удовлетворяет уравнениям .поля в вакууме:
/?2 = °- (12)
Здесь R^ представляет собой свертку Ra^lia. При соответствующем выборе системы координат для описания гравитационной волны, распространяющейся в определенном направлении, потребуются только три переменные величины. В случае волны, распространяющейся в направлении оси х1, такими переменными будут gtz, ?зз и #32. Из ЭТИХ величин g22 и g33 не являются независимыми. Для локально плоской волны
?». оо + ?зз. OO — 0.
(13)
Гравитационные волны
185
Это обстоятельство — наличие у гравитационной волны двух степеней свободы — легко уяснить на основе простых соображений. Зададимся вопросом, как действует гравитационная волна на пробную частицу. Этот вопрос приведет нас ко второй части обсуждаемой темы, а именно к возможным способам обнаружения гравитационных волн.
Частица
Наблюдатель
Фиг. 5.3. Движение одной частицы, вызванное гравитационной
волной.
Рассмотрим взаимодействие между гравитационной волной и отдельной пробной частицей, которая приводится этой волной в колебательное движение. Если наблюдать данное взаимодействие, будучи связанным с частицей, то вследствие принципа эквивалентности наблюдатель будет осциллировать вместе с частицей и ничего не обнаружит (фиг. 5.3).
Другое дело, если на некотором расстоянии от первой частицы имеется вторая частица. Тогда вследствие запаздывания по фазе вторая частица будет двигаться относительно первой. И не исключено, что в случае синусоидальной волны внимательный наблюдатель заметит некоторое периодическое изменение расстояния между этими двумя частицами.
Ho следует учесть, что, кроме ускорений, вызванных волной, на этом расстоянии между частицами будет
186
Глава S
сказываться изменение метрики. В случае двух частиц, расположенных вдоль линии распространения волны, оба эти эффекта в точности компенсируют один другой — и в этом нет ничего неожиданного.
Если же две частицы расположены в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, то эффект, обусловленный геометрией пространства, окажется доминирующим, и частицы будут двигаться неодинаково. Одна частица будет смешаться относительно
Фиг. 5.4. Относительное движение четырех частиц, вызванное гравитационной волной.
другой в направлении, перпендикулярном распространению волны.
