Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Cm. гл. 7 настоящего сборника, написанную Р. Дикке.
Принцип Маха и эксперименты по анизотропии массы 203
нии г от массы т. Коккони и Салпитер [1] предполагают, что добавка Am к инертной массе т, обусловленная массой ДМ, определяется формулой
Am-М. (1)
в которой
0< v< 1.
Пусть ускорение тела т составляет с радиус-вектором г, направленным от тела т к телу AMi угол 0. Нас
Фиг. 6.1. Тело с инертной массой, равной т, ускоренное относи* тельно элемента удаленного вещества с массой AM.
интересует вопрос о том, какую зависимость Am от угла 0 следует принять. Можно встать на ту точку зрения, что в силу принципа Маха инертная масса тела определяется всей совокупностью вещества во Вселенной так, что при этом никакой зависимости от 0 нет. Однако более интересен другой подход к этому принципу. Мы предполагаем, что должна быть какая-то зависимость от угла и пытаемся найти следствия, вытекающие из такой зависимости. Угловая зависимость должна выражаться четной функцией от 0, принимающей одно и то же значение при 0 = 0 и при 0 = я. В самом деле, уже в простейших случаях гармонического колебания и равномерного движения по окружности при нарушении этих требований появляются нежелательные с физической гочки зрения скачки кинетической или потенциальной энергии или скорости, а консервативные силы перестают быть консервативными. Если выразить эту угловую за* висимость в виде разложения по полиномам Лежандра,
204
Tлава 6
то простейший анизотропным член оказывается равным Pz(cos 0) = '/г (3 cos2 0 — I), так что
Am ~ P2 (cos 0). (2)
В более общей форме можно сказать, что обычный закон Ньютона
F — та, (3)
в котором масса т является скалярной величиной, заменяется на
F і = TnijO.,, (4)
где масса тц— величина тензорная. Вследствие четной зависимости массы от угла тензор тц должен быть симметричным. Обобщенная кинетическая энергия принимает тогда вид
1 ~ 2Tnij ’ W
где Pt и Pj — компоненты импульса.
В качестве примера распределения массы вокруг Земли мы рассмотрим простую модель, изображенную на фиг. 6.2. Пусть вся масса нашей Галактики будет сосредоточена в ее центре, а вся остальная масса Вселенной— распределена с постоянной плотностью во всем пространстве. Главные оси можно выбрать так, как показано на фиг. 6.3; тогда тензор массы будет диагональным. Если
Mzz = Iti0 + Am, (6а)
где Am — добавок, обусловленный точечной массой Af0 нашей Галактики, а т0 соответствует влиянию остальной массы Вселенной, то можно записать
Д тп
тхх = туу = щ-------2~ • (66)
На основании выражения (5) кинетическая энергия записывается в виде
Т = ТоW(CosO), (7)
где
T =^-
0 2mQ ’
Фиг. 6.2. Модель распределения массы во Вселенной.
Распределение массы равномерно повсюду в сферической Вселенной радиусом Rt за исключением массы нашей Галактики Maf которая считается сосредоточенной в точке, совпадающей с центром масс Галактики.
Центр
Галактики
Ma
Фиг. 6.3. Главные оси тензора инертной массы в случае модели распределения массы, изображенной на фиг. 6.2.
206
Глава 6
а слагаемое, содержащее Am, является поправкой, учитывающей анизотропию массы. Это выражение мы будем применять при квантовомеханических вычислениях, рассматривая T0 как обычный квантовомеханический оператор механической кинетической энергии, а второе слагаемое в выражении (7) — как член возмущения в гамильтониане.
Величину Ат/т0 можно оценить, исходя из схемы фиг. 6.2 и формулы (1). Масса M Вселенной вне нашей Галактики считается равномерно распределенной вокруг Земли вплоть до радиуса Вселенной /?, а масса нашей Галактики M0 — сосредоточенной в точке на расстоянии Ro от Земли. Тогда
4лг2р dr _ 4яр/?3
3 — V
^ С Anr2Qdr 4яр/?3 v /Q4
mO ~ I ---------v----= —^---------------------------------• (о)
J rv 3 — V
о
где р—плотность массы Вселенной, а
Am-(9)
Н0
Отношение этих величин равно
Am _ M0 З —V
т0 Rq 4лрR'
»3—V
Подставим численные значения1)
M0 = 3 • IO44 г, R0 = 2,5 • IO22 см,
R = S-IO27 см, P=IO-29 г/см3.
На основании формулы (1) можно заключить, что 0<v<l. Действительно, при v<0 влияние данной массы на массу тела было бы тем больше, чем сильнее она удалена от него, что представляется нелогичным. С другой стороны, при v>l инертная масса определялась бы в основном веществом, находящимся в самой непосредственной близости от тела, например массой
!) Cm. работу [3].
Принцип Маха и эксперименты по анизотропии массы 207
Солнца, а это противоречит наблюдаемому движению планет. Из выражения (10) следует, что при v = 0
m0
а при V= 1
= 2 • IO-5.
т0
Экспериментальная проверка анизотропии массы
Эффекты анизотропии массы могли бы проявляться в макроскопическом масштабе в ряде систем. Одной из них является обыкновенный маятник, период которого определяется соотношением
(и»
где т — инертная, a mg—тяготеющая массы диска маятника, L — длина маятника, a g — ускорение силы тяжести. Период не будет зависеть от величины массы в случае равенства инертной и тяготеющей масс. Ho если инертная масса подвержена анизотропии, а тяготеющая — нет, то период маятника может зависеть от его ориентации.
