Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
До сих пор мы продвигались вперед, пользуясь принципом соответствия с теорией всемирного тяготения Ньютона. Теперь, если мы хотим двигаться дальше, цт следует обеспечить выполнение требования ЧИСТО
Гравитация как геометрия (II)
153
геометрической связи между геометрией и энергией — импульсом — натяжением. Чтобы выразить это требование в удобочитаемом виде, полезно обратиться к примеру электродинамики. На первых порах в теории электричества совершенно не учитывалось влияние движения на действие электрических зарядов на расстоянии. В качестве источника всех эффектов рассматривалась лишь плотность электрического заряда ре. Считалось, что действие заряда на расстоянии полностью описывается электростатическим потенциалом ф, удовлетворяющим уравнению Пуассона
У2ф = — 4щ)е. (22)
Ho позднее, когда были обнаружены магнитные дей* ствия, связанные с движением зарядов, пришлось ввести понятие магнитного потенциала Ah. Этот потенциал понимают в наши дни как пространственную часть четырехмерного потенциала Aa:
j A0 — ф— электростатический потенциал;
Ak—магнитный потенциал.
Подобным же образом плотность заряда рассматривается как одна из компонент четырехмерного вектора ра:
P0==P (плотность заряда, измеряемая в ед. заряда!м3)>
р« =
р* = — (плотность тока, измеряемая ^4)
в ед. за ряда! м2 • сек) =
= 1 (ед. заряда/м2 поперечного сечения и м времени).
Как известно, этому соответствует обобщенное уравнение Пуассона
?2 Aa = — 4яр“. (25)
В этом уравнении приравниваются друг другу два четырехмерных вектора. Поэтому его смысл и содержание не зависят от той или иной лоренцовой системы отсчета, в которой рассматриваются соответствующие
154
Глава 4
процессы. Независимо от случайных значений компонент, которыми характеризуются эти четырехмерные векторы во взятой наугад системе отсчета, можно представить себе такие четырехмерные векторы сами по себе, например в виде стрелок, имеющих некоторую величину и определенное направление.
Такой способ описания, не связанный с координатами, будет соответствовать самой сущности понятия вектора, и именно такого рода способ описания нам нужен теперь для изложения проблем гравитации.
Тензорный характер источника в геометродинамике
В правой части приближенного уравнения геометрического поля (21) стоит «плотность массы — энергии». В отличие от источника, фигурирующего в электростатике, эта величина не является временной компонентой четырехмерного вектора. Вместо этого она имеет смысл временно-временной компоненты Г00 тензора
который имеет следующее истолкование в локально ло-ренцовой системе отсчета: T00 — энергия в 1 м3; — по-
ток энергии в направлении оси /; Tok — поток энергии (энергия, перенесенная в направлении &-й оси через 1 м2 площадки, перпендикулярной этой оси, за промежуток времени, равный в единицах светового пути I Mt или скорость света, умноженная на плотность импульса в направлении k-и оси; плотность берется на единицу трехмерного объема — 1 м3)\ — компонента k им-
пульса, перенесенная за 1 сек в направлении оси j через I м2 площадки, перпендикулярной направлению оси /, или компонента k силы, с которой действуют электромагнитное поле и другие факторы в х* — 0 на эти же поля в хі + 0, из расчета на 1 м2 площади — компонента jh трехмерного тензора натяжений. В частном случае покоящейся жидкости, находящейся в гидростатическом равновесии, для описания состояния жидкости обычно используются такие параметры, как
Гравитация как геометрия (її)
155
плотность массы р, плотность энергии е и давление р. В этом случае тензор энергии — импульса — натяжений имеет в локально лоренцовой системе отсчета компоненты
Ґ*= Tafi =
е + р C2 0 0 0
0 P 0 0
0 0 P 0
0 0 0 P
(27)
Тензорный характер источника удачным образом совпадает с тензорным характером самого поля, что явствует из формы гравитационных потенциалов gap- Поэтому не остается ничего иного1), как по аналогии с уравнениями для четырехмерного вектор-потенциала электромагнитного поля (25) обобщить однокомпонентное уравнение тяготения (21) в десятикомпонентное тензорное уравнение вида
8я(7 гг.
ар-
(28)
Кавычки при операторе „П2а означают, что правило действия этого оператора на тензор не определено еще в достаточной мере. Мы знаем лишь, что для практически покоящихся источников в почти плоском мире величину ,D2a goo можно привести к V2Soo- Потребуем поэтому, чтобы конструкция „a2" gap представляла собой некоторый общий дифференциальный оператор второго порядка, содержащий члены вида
дхр дх°
(29)
Различных компонент потенциала Sjav=S1Vh насчитывается десять. Различных вторых производных вида д2(.. .)/дх°дх° — также десять. Значит, для построения десяти выражений, обозначенных пока как ,,D2uSap, нужно взять комбинацию из 100 членов. Иными
1J Это утверждение бездоказательно. Можно указать другие возможности, и не одну. — Прим. ред.
156
Глава 4
словами, для того чтобы определить конкретный вид величин „[j2“gap, требуется найти 1000 коэффициентов! Ho ПОСКОЛЬКУ конструкция ,,Q2lt ga,3 должна быть тензором с индексами аир, число неизвестных снижается с 1000 до 2:
