Теория оптических приборов - Чуриловский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
изображений dV отрезка dl. Левые концы этих отрезков совпадают в точке
Л', а правые их концы не совпадают н располагаются в пределах некоторого
малого отрезка ds'. Если мы теперь уберем совсем воображаемую диафрагму
PPi, то все изображения dl' возникнут одновременно, накладываясь друг на
друга. Так как левые концы их совпадают в точке А', то в этой точке
получится резкое (точечное) изображение точки А. Но правые концы этих
отрезков не совпадают друг с другом, и потому мы получим нерезкое
изображение точки А \ в виде отрезка ds', представляющего собой,
очевидно, величину сферической аберрации для лучей, исходящих из точки
Аг. Здесь сказывается упомянутое выше удивительное свойство закона
косинусов: не рассчитывая хода лучей, идущих из точки А ь мы можем
определить величину ds' создаваемой ими сферической аберрации. Для этого
из всех значений, принимаемых величиной q при изменении углов а и а' в
пределах апертуры системы, выберем наименьшее н наибольшее. По формуле
(V. 129) наибольшему значению q соответствует н наибольшее значение dlmах
величины dl, а наименьшему значению q - наименьшая величина dlmin. Но
очевидно, что отрезок ds' определяется формулой
ds' = d4""^mln. (V.130)
На основании формулы (V. 129) отсюда находится
ds' = (<7"" - q"m) dl. (V. 131)
По этой формуле можно вычислить величину сферической аберрации для
правого конца отрезка dl.
Теперь поставим требование, чтобы сферическая аберрация ds'
отсутствовала. Из выражения (V. 131) следует, что в таком случае должно
выполняться условие
?п,.х - <?min = О, (V. 132)
а оно выполнимо только в случае, если q постоянно в пределах апертуры
данной оптической системы. Мы приходим таким образом к требованию
соблюдения условия Гершеля, При выполнении условия Гершеля q должно быть
постоянно для всех значений углов а и а' (в пределах апертуры системы), в
том числе и для бесконечно малых их значений, т. е. в параксиальной
области.
Вследствие этого величина q в левой части формулы (V. 128)
есть продольное увеличение для параксиальной зоны и определяется по
формуле оптики Гаусса
q = -LV' = ^V\ (V.133)
где V - линейное увеличение в точках Л и Л',
490
При подстановке этого значения q в формулу (V. 128) находим после
извлечения квадратного корня
1
п sin -п а
V=- \ (V. 134)
п' sin -g- а'
Это второй вид условия Гершеля.
Условие Гершеля, очень важное для развития некоторых общих положений
теории образования оптического изображения, имеет, однако, малое
практическое применение, так как оно, как будет показано ниже (§ 104),
противоречит другому, практически более важному требованию - закону
синусов.
Закон синусов есть также частный случай закона косинусов прн расположении
элементарных отрезков dl и dl', показанный на чертеже (рнс. V. 17):
концевые точки А н А' этих отрезков (для этих точек выполнено условие
образования точечного изображения) лежат на оптической оси системы, а
сами отрезки dl и dV •перпендикулярны к оптической оси. Чтобы достичь
точечного изображения также и для внеосевых концов А\ и А\ этих отрезков,
необходимо выполнение закона косинусов (V. 126). Так как на чертеже углы,
образованные лучами с отрезками dl и dl', обозначены буквой е, и
учитывая, что отношение dl'Sdl в этом случае действительно есть линейное
увеличение оптической системы, получим вместо (V. 126)
у ~ JL cosе -cose" ^ (V. 135)
п' COS s' - COS
По чертежу видно, что углы е и е' дополняют углы а и а' до 90°. Поэтому
из выражения (V. 135) следует
у __ п sin a -sin gp (V. 136)
п' sin а" - sin а"
491
Для определения углов ао н ао выберем начальный луч так, чтобы он
совпадал с оптической осью. Тогда оба угла ао н "о становятся равными
нулю, н выражение (V. 136) упрощается:
у _ n5ina . (V. 137)
п' sin а ' 7
Это и есть известная формулировка закона синусов, выведенного Э. Аббе в
1879 г. более элементарным путем. Соблюдение закона минусов обусловливает
точечное изображение не только одного элементарного отрезка dl, но целой
элементарной площадки с радиусом dl, перпендикулярной к оптической оси и
окружающей точку А. Это вытекает нз симметрии оптической системы
относительно оптической осн.
Как н при исследовании условия Гершеля, вообразим себе кольцевую,
бесконечно узкую диафрагму с центром кольцевой чщели на оптической оси,
поставленную перед оптической системой (не показанной на чертеже). Эта
диафрагма выделяет нз множества лучей, исходящих из точкн А, лучи,
образующие постоянный угол а с осью, а в пространстве изображений -
постоянный угол а' с осью системы. Все эти лучи проходят через точку А',
так как для точек Л и А' предполагается выполненным условие образования
точечного изображения. Поэтому для лучей, пропускаемых диафрагмой РР 1г
будет постоянным н линейное увеличение V, вычисляемое по формуле (V.
137). Величина изображения dl' элемента dl, определяемая формулой
dl' = V dl, (V. 138)
тоже, очевидно, будет постоянной. Эту величину dl' нанесем на чертеж так,
