Теория оптических приборов - Чуриловский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
координат - в ее вершине S).
Пользуясь чертежом, найдем:
ар = vy + (s-*>2;
РА' = Уф + (s' + х)2
Вследствие этого получим вместо выражения (V. 58)
п V У2 + (s - *)8 "1" п' VV + (s' - х)г = n's' - ns. (V. 60)
После двукратного возведения в квадрат для устранения квадратных корней
найдем из формулы (V. 60)
["¦ -Г - (У2 + X2) - (л'V - n's) xj =
= пп' (n's' - ns) [(ns' - n's) (у2 + Xs) + 2 {n' - n) ss'x]. (V. 61)
Это уравнение четвертой степени .относительно координат х и у есть
уравнение меридиональной кривой анаберрационной преломляющей поверхности.
Такие кривые называются овалами Декарта. Ввиду трудности изготовления
преломляющих поверхностей такой 'довольно сложной формы, они не получили
практического применения в оптическом приборостроении, за исключе*
472
(V.59)
нием частного случая, при котором преломляющая поверхность приобретает
более простую форму.
Этот частный случай наблюдается тогда, когда предмет находится на
бесконечности: s - со; s' = где /' - заднее фокусное расстояние этой
преломляющей поверхности. Раньше чем ввести это условие, приведем
уравнение (V. 61) к следующему виду:
-(Уг + хг) +2 (п' - п)-
(V. 62)
Вводя теперь условия s = со; s' = заметим, что уравнение (V. 62)
существенно упрощается:
(/г'2 - п2) х2 + п'2у2 - 2л' (п' - п) f'x = 0.
(V. 63)
Теперь это уравнение кривой второго порядка. Исследуя его, замечаем, что
прн у = 0 получаются два значения абсциссы х, соответствующие двум
вершинам исследуемой кривой: л 2 n'f'
Абсцисса х центра этой кривой, лежащего посередине между ее вершинами,
определится поэтому выражением
n'f
' п' 4- п'
(V. 64)
Перенося затем начало координат в центр кривой, получим из (V. 63) после
упрощающйх преобразований уравнение кривой в нормальном виде
г п/у \ \п' + П)
i +
п' -п t,2
п' + п
(V. 65)
Рассматривая это уравнение, устанавливаем, что необходимо различать два
случая. Первый случай п' > л, т. е. свет, пересекая преломляющую
поверхность, проходит из среды оптически менее плотной в более плотную. В
этом случае уравнение (V. 65) представляет эллипс с полуосями:
п'Г , /л -п
а --= -Н-; b = f У -г-]-.
п' 4- л' 1 Г п'4- л
(V. 66)
Например, если свет проходит из воздуха в стекло с показателем
преломления п, имеем
а = т+Г' "-f'VЦг- <v-67)
Второй случай имеет место, когда свет пересекает преломляющую
поверхность, проходя из более плотной среды в менее плотную: п' < п.
Теперь уравнение (V. 65) выражает гиперболу с полуосями
а = -гг-; Ь = гУ?-Р^. (V. 68)
П' + П ' ' У П П ' '
Если свет проходит из стекла с показателем преломления п в воздух,
получим
а = тг+т; Ь = !'УШ- (V-69>
На рис. V. 10, а и б представлены оба эти случая. Если параллельный ход
лучей осуществлен в воздухе (рис. V. 10, а) и п' > п, меридиональная
кривая PS преломляющей поверхности - эллипс. Задний фокус F' поверхности
совпадает при этом с фокусом эллипса, более отдаленным от вершины S
поверхности. Проверить это утверждение нетрудно: если это так, то заднее
фокусное расстояние f должно определяться выражением
/' =а + Уа]^Уа. (V. 70)
Подстановка значений полуосей а и b из формул (V. 66) убеждает в
справедливости формулы (V. 70).
Если параллельный ход лучей осуществлен внутри стекла (рис. V. 10, б) и
л' <п, меридиональная кривая PS становится гиперболой. Как и в предыдущем
случае, задний фокус F' поверхности совпадает с одним из фокусов
гиперболы. Практическое применение полученных здесь результатов требует
дополнения рассчитанной анаберрациоиной поверхности до целой линзы; но
474
вводимая при этом другая поверхность линзы не должна нарушать точечности
изображения. В случае эллипса (рис. V. 10, а) аиабер-рационная
поверхность PS служит первой преломляющей поверхностью. Вторая
поверхность P0S0 - сфера с центром в точке F'. Поэтому все лучи,
направляющиеся после преломления в поверхности PS в точку F', проходят
сферическую поверхность P0S0 вдоль нормалей к ней, так что все углы
падения и преломления этих лучей равны нулю. Поэтому вводимая поверхность
Р05о не нарушает гомоцентричности проходящего через нее пучка лучей.
В случае гиперболы (рис. V. 10, б) анаберрационная поверхность PS
используется в качестве второй поверхности линзы. Первая же преломляющая
поверхность P0S 0 - плоскость, перпендикулярная к лучам падающего на
линзу параллельного пучка лучей. Она также не отклоняет проходящих через
иее лучей, а потому и ие нарушает точечности изображения. Полученные
таким образом анаберрационные лннзы применяются в осветительных системах.
Если условие точечного изображения (V. 39) применяется к одной отдельно
взятой преломляющей (или отражающей) поверхности, то выполнение этого
условия обеспечивает также и соблюдение закона преломления (или
отражения) проходящими через поверхность лучами. Если же это условие
применяется к оптической системе, содержащей две или более поверхностей,
то выполнение его не гарантирует соблюдения закона преломления (или
отражения) на всех поверхностях системы.
