Теория оптических приборов - Чуриловский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Вследствие симметрии вокруг оптической оси центрированной системы эта
поверхность есть поверхность вращения с осью, совпадающей с оптической
осью системы. Требуется придать этой поверхности такую форму, чтобы все
лучи, исходящие из точки А, лежащей на оптической оси Л5, после отражения
от зеркальной поверхности PS, собрались в точке А'. Луч АРА' - один из
этих лучей. Положение
468
точек Л и Л' на оптической оси задано отрезками s и .s' (иа рис. V. 6 оба
отрезка отрицательные).
Для соблюдения поставленного требования необходимо выполнить условие (V.
39) точечного изображения. Применяя его к даииой отражающей поверхности и
учитывая, что лучи АР и РА' лежат оба в одной среде, получим
Константа в правой части этого выражения легко определится, если,
уменьшая до нуля угол PAS, перейти к лучу Л ЯЛ', совпадающему с
оптической осью:
В выражениях (V. 40) и (V. 41) константа в правой части имеет одно
значение. Поэтому, исключая ее, находим
Для определения формы меридиональной кривой PS введем декартовы
координаты х и у точки Р, лежащей на этой кривой, выбрав начало координат
в точке S, в вершине кривой. По чертежу определяем
Эго уравнение, связывающее координаты х и у точек, лежащих на кривой PS,
есть искомое уравнение этой кривой. Его можно, однако, существенно
упростить.
АР -f- РА' = const.
(V. 40)
Л5 4- 5Л' = -(.5 + s') = const.
(V. 41)
s
У
х
¦S
Рис. V. 6
АР + РА' = -(s + s').
(V. 42)
(V.43)
Вследствие этого получим вместо (V. 42)
W + (s - xf+Vf + tf- х)г = - (s + s'). (V. 44)
Для этой цели получим из (V. 42)
АР -f s + s' = - РА'. (V. 45)
Возводя это выражение в квадрат и учитывая формулы (V. 43), находим
(s - х)2 + 2 (s -f s') АР + (s + sy = (s' - х)г. (V. 46) Определяя отсюда
АР, найдем после ряда упрощений
^P = FTF*-s- (V-47)
Возводя формулу (V. 47) еще раз в квадрат, получим после дальнейших
упрощающих преобразований
(V. 48)
(5 -f S')s 5 + S'
Эго уравнение кривой второго порядка, причем оптическая ось совпадает с
осью симметрии кривой. Поэтому центр этой кривой должен находиться на
оптической оси. Положив в (V. 48) у = О, найдем абсциссы х± и х? двух
точек пересечения кривой с оптической осью
хх = 0; ха = s + s'. (V. 49)
Как известно, центр кривой второго порядка делит пополам расстояние между
ее вершинами, определяемыми абсциссами xt и х2. Поэтому абсцисса хс
центра кривой выражается формулой
Хс = -$(Х1 + Х2)- (V. 50)
Вследствие (V. 49) находим отсюда
*"=4(s + s')- (V. 51)
Перенесем теперь начало координат в центр кривой, чтобы привести ее
уравнение (V. 48) к нормальному виду. Проделав соответствующие выкладки,
получим:
.л
= 1. (V. 52)
Если оба отрезка $ и s' имеют один и тот же знак, то уравнение
представляет собой уравнение эллипса. Его полуось а равняется
арифметической средней отрезков s и $'
5 + s' ... _оч
Полуось Ь эллипса - геометрическая средняя отрезков s и s':
b~Yss' (V. 54)
Если же отрезки s и s' имеют разные знаки, то уравнение (V. 52)
становится уравнением гиперболы, полуось а которой определяется также
формулой (V. 53), а полуось b вычисляется по формуле
b = У=ЙГ. (V. 55)
На чертежах (рис. V. 7 и V. 8) представлены оба эти случая. В случае
эллиптической отражающей поверхности точки А и А' совпадают с фокусами
эллипса. По известному свойству эллипса
сумма радиусов векторов АР и РА' постоянна и равна.удвоенной большой
полуоси а эллипса. Этим гарантируется выполнение условия (V, 40)
образования точечного изображения. В случае гиперболической поверхности
точки А и А' также совпадают с фокусами гиперболы. При этом либо предмет
действительный, а изображение мнимое (как показано на рис. V. 8), либо
наоборот.
Разберем случай, когда предмет находится на бесконечности: s = оо; s' -
f. Уравнению (V. 48) можно придать вид
-*2 -= (V'56)
При рассматриваемых условиях отсюда вытекает уравнение
у% = 4f'x. (V. 57)
Это уравнение параболы. Параболическое вогнутое зеркало получило широкое
применение в астрономических приборах благодаря его способности создавать
точечное изображение далекого предмета.
Выведенные здесь формулы для анаберрационных зеркал использованы при
расчете астрономического зеркального объектива Кассегрена, приведенном в
§ 83.
471
Анаберрациоииые отражающие поверхности имеют, таким образом, форму
эллипсоида, параболоида или гиперболоида. Анабер-рационные преломляющие
поверхности несколько сложнее по форме. Пусть на чертеже (рис. V. 9) дуга
PS есть меридиальиая кривая преломляющей поверхности, разделяющей две
среды с показателями преломления и п'. Лучи, исходящие из точки А, должны
после преломления снова собраться в точке А'. Для этого необходимо
выполнить условие (V. 39) точечного изображения, которое в
рассматриваемом случае приобретает вид
пАР 4- п'РА' = -ns + n's(V. 58)
Правая часть этого выражения - константа, значение которой определено по
ходу луча ASA', совпадающего с оптической осью.
Введем декартовы координаты х и у точки Р меридиональной кривой (начало
