Теория оптических приборов - Чуриловский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Wv и W2 равна оптической длине хода светового луча между этими волновыми
поверхностями.
§ 96. Принцип таутохронизма
Представим себе, что фиксированные волновые поверхности Wх и W2 (рис. V.
2) связаны друг с другом множеством световых лучей, проходящих на своем
пути через оптическую систему. Тогда выражение (V. 19) может быть
составлено для каждого луча. В правой части этого выражения отрезки ds
разных лучей, лежащие в одной и той же среде, а потому имеющие один номер
.9, ие будут, конечно, равны Друг другу. Однако левые части всех таких
уравнений равны между собой, так как значение эйконала Е на каждой
волновой поверхности постоянно, а потому постоянна и разность ?2 - ?А
значений эйконала на двух
461
фиксированных поверхностях. Следовательно, должны быть равны и правые
части этих выражений, и можно поэтому написать
ssssm-И
2 nsds = const. (V. 20)
8 = 1
Это выражение называется законом таутохронизма и может быть
сформулировано так: оптическая длина хода всех световых лучей, идущих
между двумя фиксированными волновыми поверхно-стями, постоянна.
Закон таутохронизма представляет собой точный закон природы, всегда
строго выполняемый при распространении световых волн, независимо от
свойств оптической системы, расположенной в ходе лучей между
фиксированными волновыми поверхностями. Благодаря этому следует считать
его наиболее Общей и универсальной закономерностью, характеризующей
распространение света при прохождении его через любые оптические системы.
Физический смысл этого закона можно установить посредством следующих
преобразований. Применяя формулу (V. 7) к s-й среде оптической системы,
находим скорость vs распространения света в этой среде
Время т8, затрачиваемое светом на прохождение пути ds, можно выразить
формулой
ts = f. (V. 22)
Отсюда получим с учетом выражения (V. 21)
x, = n-f. (V.23)
Время Т, затрачиваемое светом на прохождение всего пути вдоль луча,
соединяющего фиксированные волновые поверхности Wt и W2, составляет,
очевидно, сумму отрезков времени т5. Вследствие (V. 23) получим
s=m-f I s=m+l
Т= S ts = i 2 "Л- (V-24)
6=1 С 6=1
В правой части этого выражения получена сумма, представляющая собой
оптическую длину хода лучей между двумя фиксированными волновыми
поверхностями, постоянство которой вдоль всех лучей установлено законом
таутохронизма. Поэтому постоянным должно быть и время Т прохождения
светом пути между двумя фиксированными волновыми поверхностями вдоль
любого
462
луча. Отсюда следует, что свет, покидающий в некоторый момент времени
различные участки волновой поверхности Wx, одновременно достигает второй
волновой поверхности Wt. Основываясь на этой физической интерпретации
закона, его называют законом таутохронизма (законом одновременности).
В дальнейшем изложении для сокращения письма вводится следующее условное
обозначение:
s=m+l
[WXW2} = 2 nsds. (V.25)
- n2
Рис. V. 3
При этом в квадратные скобки заключаются обозначения тех геометрических
величин (волновых поверхностей, точек и т. между которыми определяется
данная величина оптической длины хода лучей.
Известный закон преломления, найденный Снеллиусом в 1618 г., может быть
получен как следствие закона таутохронизма. Заметим предварительно, что в
приведенном выше выводе закона таутохронизма нигде не участвует закон
преломления. Представим себе плоскую Nl~ поверхность РхРг (рис. V. 3),
разделяющую две среды с показателями преломления п к п'. Луч МХРХ,
падающий на преломляющую плоскость, образует угол падения о> = MXPXNX.
Преломленный луч PXL2 образует угол преломления (c)' = L2PXN2. При этом
NXN2 - нормаль к плоскости РХР2 в точке Рх. Падающий луч LXP2 параллелен
лучу МХРЪ а преломленный луч Р2М2 параллелей лучу PXL2. Плоскость МХР2
является плоской волновой-поверхностью, перпендикулярной к лучам МХРХ и
ЬхРг (падающая волна Wx). Таким же образом плоская волновая поверхность
Р\Мг "перпендикулярна к преломленным лучам РjLa и Р2М2 (преломленная
волна №2)-
На основании закона таутохронизма оптическая длина хода лучей между
волновыми поверхностями W х н должна быть постоянной как вдоль луча
LXP2M2, так и вдоль луча MXPXL2. Поэтому
пМхРх = n'P2Mz. (V. 26)
По чертежу находим
L М1РгР1 = ю; LM,PtPt
¦- 0)'.
Поэтому из треугольника M1PtP1 определяется отрезок М1Р1 МгРг = Р^Рг sin
0). (V. 28)
463
Таким же образом получим из треугольника М2Р2РХ
Р2М2 = РХР2 sin о)'. (V. 29)
Подставив значения отрезков MXPL и Р2Мг из выражений (V. 28) и (V. 29) в
формулу (V. 26), найдем после сокращения иа величину РХР2
п sin о) = п' sin о)', (V. 30)
а это и есть закон преломления.
В свою очередь, из закона преломления может быть получен так называемый
принципФерма( 1601-1665гг.), который утверждает, что оптическая длина
хода луча, соединяющая две несопряженные точки, имеет всегда
экстремальное значение по сравнению с другими путями,близкими к истинному
пути луча. Покажем здесь справедливость этого принципа в случае
прохождения света через одну преломляющую поверхность (рис. V. 4),
