Теория оптических приборов - Чуриловский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
у - координаты точки N волновой поверхности. Точка N лежит также и на
луче NA*. Уравнение этого луча у = _(* 6s') tg ф, (V. 92)
где ф - угол, образованный этим лучом с оптической осью.
Обозначим буквой т угол, образованный с оптической осью касательной TN к
волновой поверхности в точке. N.
Из чертежа следует
Ф = 90° - т. (V. 93)
Поэтому нз (V. 92) имеем
х - 6s' = -у tg т. (V. 94)
Из аналитической геометрии известно, что
tgT = f. (V. 95)
Поэтому вместо (V. 94) находим
М = х + = (V. 96)
Отсюда следует
6s' = i d {х\+ у,) . (V. 97)
2 dx v '
Из чертежа вытекает
(х - |)г + у* = (R -1- l)\ (V. 98)
откуда получаем
х* + у2 = (R + [)г + 2lx - V. (V. 99)
Дифференцируя это выражение (R и | - постоянные), находим d (х2 + у2) = 2
(R + [) dl + 21 dx. (V. 100)
Из чертежа следует также
х - I - -(R + I) cos и, (V. 101)
где и - угол, образованный с оптической осью радиусом MB. Дифференцируя
(V. 101), имеем
dx = (R + I) sin и du - cos и dl. (V. 102)
482
Вследствие (V. 100) н (V. 102) получим вместо выражения (V. 97)
6s' = -
(R + i) dl
- cos и dl
¦Т i-
[R + 0 sin u du
Это выражение может быть написано в такой форме: 1 , cos и sin и du
R i-1 ~ dl *
(V. 103)
(V. 104)
6s'-I
Так как R велико по сравнению с величинами 6s и |, вторая дробь левой
части этого выражения мала по сравнению с первой и может быть поэтому
отброшена.
Тогда из (V. 104) получим
dl - (6s' - I) sin и da. (V. 105)
Это выражение можно рассматривать как дифференциальное уравнение волновой
аберрации. Интегрируя его в пределах от нуля до некоторого значения угла
и, получим
I = j* (6s' - |)sin и du (V. 106) о
и окончательно / = - 1(1- cos и) -J j" 6s' sin udu.
(V.107)
Это и есть общее выражение для волновой аберрации I.
Для решения выражения (V. 107) можно применить различные способы. Очень
удобное решение получается при введении новой переменной р, связанной с
апертурным углом и соотношением
р = 1 - cos и. (V. 108)
Дифференцируя это соотношение, находим
dp = sin udu. (V. 109)
Вместо формулы (V. 107) получается тогда более простое выражение
/ = •
-рЪ + J es'dp-
(V. 110)
На чертеже (рис. V. 14) представлен график сферической аберрации
некоторой оптической системы. По абсциссе этого графика отложена
сферическая аберрация 6s', по ординате - величина р по формуле (V. 108).
Тогда величина интеграла в формуле (V. 110)
на чертеже представляется площадью фигуры MNO, слева ограниченной кривой
МО графика. Первое же слагаемое правой части формулы (V. 110)
представлено иа чертеже в виде прямоугольника ONPR, основание которого
равно |, а высота р. Поэтому, учитывая отрицательные значения 6s' на
чертеже, а потому и отрицательное значение площади фигуры MNO, можно
утверждать, что вся заштрихованная на чертеже площадь MPRO выражает собой
величину волновой -аберрации / (со знаком минус) прн р - N0.
Для определения площади MNO во многих случаях целесообразно применение
приближенных методов интегрирования (правило Симпсона и др.). Сферическая
аберрация 6s' оптической системы может быть представлена в виде
известного ряда четных степеней апертурного угла и
6s =a2ulJra4u\. , (V. Ill)
Б. ТЕОРИЯ АПЛАНАТИЗМА § 99. Закон косинусов и его следствия
Практическое применение анаберрационных поверхностей показало, что
соблюдение условия образования точечного изображения для одной пары
сопряженных точек ни в какой мере не гарантирует точечного изображения ни
для одной другой пары сопряженных точек, хотя бы и лежащих в ближайшем
соседстве с первой парой. Это положение можно наглядно иллюстрировать на
примере вогнутого параболического зеркала: оно дает точечное изображение
осевой точки бесконечно далекого предмета, но с удалением точки предмета
от оптической оси ее изображение сразу же становится нерезким. Об этом
свидетельствует эмпирическое правило, установленное А. Зоннефельдом для
астрономических параболических зеркал: полезное поле зрения 20 в минутах
равно обратной величине относительного отверстия параболического зеркала.
Например:
Относительное отверстие 1 : 10 1:5 1:3
Полезное поле зрения 10' 5' 3''
Столь малое поле зрения явилось серьезным препятствием на пути широкого
применения анаберрационных поверхностей и заставило исследователей
изыскивать возможность распространения точечности изображения с одной
единственной точки предмета на целую область, хотя бы н небольшую. Общее
условие, при выполнении которого достигается точечное изображение не
одной точки, а целого элементарного отрезка предмета, называется законом
косинусов и было впервые сформулировано А. Кон-ради в 1905 г. Некоторые
практически важные частные случаи этой закономерности были, однако,
открыты много раньше.
484
Обращаясь к выводу закона косинусов, представим себе (рис. V. 15), что в
пространстве предметов, в среде с показателем преломления л, как угодно
расположен элемент линии dl ~ АА lf а в пространстве изображений, в среде
с показателем преломления п, находится элемент линии dl = А'А[,
