Теория оптических приборов - Чуриловский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Условие образования точечного изображения можно представить в виде
[АА'\ = [ЛЛ']0. (V. 71)
Здесь величина [*ЛЛ']0- оптическая длина хода луча, совпадающего с
оптической осью. Если условие (V. 71) в данной оптической системе
нарушено, то-возникает разность б:
б =* |ЛЛ'] - [ЛЛ']0. (V. 72)
Рассмотрим расчет разности б в оптической системе, состоящей из пг
преломляющих поверхностей.
На чертеже (рис. V. 11) показан ход луча AePsPs+i через две
последовательные поверхности этой системы. Пользуясь введенными иа этом
чертеже обозначениями, можно составить следующее выражение для оптической
длины хода луча, исходящего под углом а! к оси из осевой точки Аг
предмета и после выхода из системы пересекающего оптическую ось в точке
Лт+1
s=m-1
[¦^l^rti+l] - "Ь ^s+I (/. - Vm) 4* ft'Bt+llm' (V. 73)
475
Если же угол at равен нулю и рассматриваемый луч совпадает с оптической
осью, выражение (V. 73) преобразуется:
[д А+. ]о= - "А + ' 2'л.+1" - Ss+i) + "м+1 sm. (V. 74)
На основании двух последних формул из выражения (V. 72) после
соответствующих перегруппировок входящих в эти формулы сумм получим
e = 1 К. С. - К) - ". (". -*.)]. (V. 75)
Обратившись к чертежу, находим
1 t. 1 -cos as . 1
= A = MS 2
Аналогично
ls ss = hs tS"2" "а-и -Xs-Вследствие этих выражений вместо (V. 75)
получим
s=m
6 = 2[*" ("¦+> tgy as+1-ns tg-ias) -(n,tl - n") a] • (V. 76)
Выражение (V. 76) справедливо как для сферических, так и для
асферических, поверхностей.
Для сферических поверхностей, кроме того, можно написать следующие
выражении:
~ К ""j Ys*
Ys "=as-(r)s =
476
Вследствие этого получается после некоторых преобразований вместо
выражения (V. 76)
По чертежу находим
h" = rs sin Vs.
в результате чего выражение (V. 77) переходит в окончательную формулу,
справедливую для сферических поверхностей,
s=m
(V. 78)
S=1
где для упрощения письма принято обозначение
- ( sin -s- Q>s \
gs = 2rssinTVs л*+1 j - - я,----------------i- ¦ (V- 79)
У cos у aw! cos у asy
Величина б обращается в нуль в случае, если луч проходит через осевую
точку Лот+1 гауссовского изображения.
Полученные здесь формулы (V. 76) и (V. 79) могут быть использованы для
решения практически очень важной задачи: получения точечного изображения
посредством замены последней m-й сферической поверхности асферической. На
рис. V. 12 отдельно показана последняя преломляющая поверхность.
Предположим, что эта поверхность PmSm была первоначально сферической, а
преломленный ею луч РтА' проходил через точку А\ ие совпадающую с
гауссовским изображением Ао осевой точки
V (V. 77)
477
предмета. Пусть для оптической системы со сферической последней
поверхностью вычислена разность б по формуле (V- 78). Заменим сферическую
поверхность PmSm асферической поверхностью PmSm с таким расчетом, чтобы
преломленный луч РтЛо проходил через гауссовскую точку Aq. Критерием
получеиня-ло-чечиого изображения, а следовательно, и устранения
сферической аберрации послужит при этом равенство нулю величины б L -
разности оптических длин хода внеосевого и осевого лучей, рассчитанной
для системы с асферической последней поверхностью.
Составив выражение для т-й поверхности по формуле (V. 76), для всех
остальных поверхностей - по формуле (V. 78) и пользуясь обозначениями,
введенными на чертеже, можно написать для di
В формулах (V, 80) и (V. 81) верхней чертой отмечены три величины,
изменившиеся при замене сферической поверхности аеферн-ческой: й", хт и
amtI.
Благодаря тому, что точка Рт лежнт на падающем луче, а преломленный луч
проходит через точку Ло (положение которой предполагается известным), две
из этих трех величин могут быть исключены. Наиболее удобно исключить hm и
хт. Тогда выражение (V. 81) послужит для вычисления величины ат.1в
Выполнив соответствующие выкладки, приводим выражение (V. 81) к виду
6i "= gs -f- Нт t§ 2 (r)я1+1 Щп 2 )
- 0.
Вследствие формулы (V. 78) получим отсюда
(V. 80)
- (я"+1 " пт) Xm = gm- б.
(V .81)
М sin am+1 - N cos am+1 == P.
(V. 82)
При этом
+ (ёш - 6 + "П+Л m - nmsm) cos a."i N = (8" ~ " + "m+A m ~ n A)sin
P = nm+.(S",-s;m) sinaM-
478
Для решения выражения (V. 82) относительно единственной оставшейся в нем
неизвестной ат+1 целесообразно применить тригонометрический метод, введя
вспомогательный угол е:
(V. 84)
Тогда угол ат+1 вычислится при помощи формулы
sin (am+i - в) = sin е.
(V- 85)
После нахождения угла ат+1 вычисляются координаты hm и хт точки Рт,
лежащей на искомой асферической поверхности. Для этого служат формулы
Следует еще заметить, что для вычисления входящей в эти формулы величины
sm можно применить приведенную к удобному для логарифмирования виду
формулу
Выполнив расчет по формулам (V. 78), (V. 79), (V. 83)-(V. 87) для ряда
значений угла aL луча с осью, найдем координаты hm и хт ряда точек,
лежащих на меридиональной кривой асферической т-й преломляющей
поверхности, которая делает данную систему свободной от сферической
аберрации.
Способ устранения сферической аберрации фотографического объектива
