Теория оптических приборов - Чуриловский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
возможно лишь в одной паре сопряженных и перпендикулярных к оптической
оси поверхностей. При этом устранение ошибки закона синусов в одной паре
сопряженных плоскостей вызывает неустранимую дисторсию в любой другой
паре сопряженных плоскостей.
Однако и в этом правиле существуют исключения. Чтобы показать это,
докажем сначала, что константы в правых частях формул (V. 167) и (V. 170)
равны друг другу. Учитывая, что
503
отношение отрезков а' к а есть продольное увеличение Q оптической
системы, можно следующим образом преобразовать константу формулы (V.
170):
аУг У,
а' Ч *
(V.171)
Но для Q справедлива формула
Q = ~j~VlV2 = (V. 172)
Подставив это значение Q в формулу (V. 171), найдем
^ = (V. 173)
a nV i ' v '
что и требовалось доказать.
Поэтому можно для нахождения исключения из приведенного общего правила
приравнять левые части формул (V. 167) н (V. 170)
sm a tg a v '
Отсюда следует
cosa' = cosa, (V. 175)
что приводит снова к условию (V. 164), значение которого рассмотрено
выше. Вследствие этого можно утверждать, что в трех случаях, а именно,
если коррекция всех аберраций достигнута в паре сопряженных плоскостей,
проходящих через положительные или отрицательные узловые точки, или же, в
случае телескопической системы, лежащих на бесконечности, в виде
исключения возможно существование других пар сопряженных плоскостей, в
которых тоже устранены все аберрации. Следует, однако, заметить, что
системы, обладающие таким свойством, на практике не осуществлены.
Зато хорошо известно исключение из исключения в случае узловых систем,
имеющих бесконечно большое число сопряженных плоскостей, в которых
отсутствуют все аберрации. Сюда относится плоское зеркало и упомянутая
выше система М. Ланге, исследованная М. Герцбергером.
Эта своеобразная оптическая система, дающая точечное изображение всего
пространства предметов, состоит из двух концентрических сферических
поверхностей (рис. V. 25), разделяющих трн среды с показателями
преломления л,, я2 и я3, причем
я2 = угя1/г3. (V.176)
Отсюда вытекает
(V. 177)
504
Радиусы гх и г2 преломляющих поверхностей связаны зависимостью
r. = -Vr'--<V-178>
Рассмотрим ход луча АРХР2М, соединяющего точки А и Л' на оси, удаленные
от центра О поверхностей на расстояния q и q . Углы 0\ н g>i, g>2 и <02
падения и преломления луча на двух преломляющих поверхностях системы
связаны попарно законом преломления
tit sin (0] - п-2 sin <1)1; I
. - (V.179)
п2 Sin 0)2 = Sin 0)2. )
Опустив из точки О перпендикуляр ОМ х на луч АРХ, мы видим, что длина
этого перпендикуляра определяется как из треугольника AON х, так и нз
треугольника Р X0N Из этого следует
q sin а - rx sin <о,. (V. 180)
Опустив из точки О перпендикуляр 0М2 на луч РХР2, получаем треугольники
Рх0М2 й Р2ОМ2, из которых находится
г\ sin 6)i = r2Sin о)2. (V. 181)
Наконец, опустив из точки О перпендикуляр 0М3 на луч Р2М, получаем
треугольники Рг0Мй и Л'ОЛ^, при помощи которых находится
Г2 sin 02 " q sin а . (V. 182)
Приведенные выражения (V. 179)-(V. 182) объединены в следующем
продолженном равенстве:
ntfsm а = ti\r\ sin 0)1 лгГ^Шо)] - л^Г; sin to2
- Л3Г2 sin (02 -= лз<? sin а . (V. 183)
505
Взяв первую и последнюю части этого продолженного равенства, получим
riiq sin а = n3q' sin ос', (V. 184)
Взяв вторую и четвертую части равенства (V. 138) и учитывая выражение
(VI. 178), легко находим
w2 - - ы 1, (V. 185)
а из третьей н пятой частей равенства (V. 183) следует
- <t>i u)i. (V. 186)
По чертежу найдем теперь вспомогательные углы у, н у8:
у, = а - со,; |
. , (V.187)
Y2 = а - 0)2. J
Ввиду того, что угол Р\ОРг дополняется до 180° с одной стороны углами (0|
и со*, а с другой - углами yj и уг, имеем (учитывая знаки на чертеже)
Yi - Y2 = - Щ + ^2- (V. 188)
Вследствие формул (V. 185) и (V. 186) получаем из (V. 188)
Yi - У2 = (c)2 - 0)1, (V. 189)
а отсюда при помощи выражений (V. 187)
а' - а. (V. 190)
Так как сопряженные точки А и А' взяты произвольно, выражение (V. 190)
справедливо для любой пары сопряженных точек, а следовательно,
рассматриваемая система узловая.
Благодаря выражению (V. 190) нз формулы (V. 184) следует
(V. 191)
Как видно из этого выражения, отрезок q', определяющий положение точки
А', не зависит от угла а; следовательно, все лучи, исходящие из некоторой
точки А, снова встретятся в точке А', где получится точечное изображение
точки А. Точка А была выбрана на оптической осн, но в концентрической
системе любая прямая, проходящая через центр О системы, служит оптической
осью. Таким образом, сделанный здесь вывод справедлив для любой точки
пространства предметов.
Вследствие формулы (V. 190) угловое увеличение W системы М. Ланге равно
единице. Поэтому ее линейное увеличение V определяется формулой
(V. 192)
506
Так как отношение величин q' и q есть продольное увеличение Q системы, нз
(V. 191) следует
Q (V. 193)
Так как продольное и линейное увеличения равны, изображение строго
подобно предмету, а следовательно, отсутствует искажение изображения.
