Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
характеристичное число решения у1г, . . . • • •> Упг•
Рг ^ •
Это неравенство совместно с установленным ранее приводит к соотношению
рг + %г = 0 (г = 1, . . ., и).
ПРАВИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
149
Отсюда сумма характеристичных чисел Щ + • • • + рп присоединенной системы
равняется взятому с обратным знаком харак-
dt
теристичному числу функции е 88 . А это доказывает, что система,
присоединенная к правильной системе уравнений, есть также правильная, a
ysr представляют нормальную систему решений присоединенной системы.
Замечание. Если система (35) есть правильная, то сумма характеристичных
чисел функций
равняется нулю. Но это условие является только необходимым для правильных
систем, в чем убеждает пример неправильной системы п. 65.
68. Пример. Рассмотрим свойства уравнений в вариациях для канонических
уравнений Гамильтона (п. 4)
где коэффициенты суть непрерывные ограниченные вещественные функции t.
Уравнения эти имеют существенное значение в исследованиях устойчивости
движений консервативных механических систем.
Пуанкаре установил, что если |s, tjs и ?3, ц' суть какие-либо два частных
решения уравнений в вариациях (38), то
где С - некоторая постоянная. Доказательство элементарно и осуществляется
дифференцированием по t.
Для каждого ?s, t)s всегда найдется по меньшей мере одно-другое решение
?3, для которого постоянная С в инварианте Пуанкаре будет отлична от
нуля. В самом деле, для нетривиального решения какая-либо из
величин ?s0, ris0 начальных зна-
чений в момент t0 будет отлична от нуля; тогда второе частное решение
всегда можно определить начальными значениями ?s0, rjso так, чтобы
интересующая нас постоянная была отлична от нуля.
Пусть для двух решений уравнений в вариациях ?s, ri3 и ?3, rjs значение
постоянной С отлично от нуля, а % и А/ суть отвечающие этим решениям
характеристичные числа. Пользуясь инвариантом Пуанкаре, выводим
неравенство
(38)
s
% + А/ < 0.
150
ГЛ. 9. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ
Следовательно, если уравнения в вариациях (38) имеют хотя бы одно частное
решение с отличным от нуля характеристичным числом, то для них будет
существовать тогда по меньшей мере одно решение с отрицательным
характеристичным числом - невозмущенное движение будет при этом
неустойчивым (в первом приближении).
Невозмущенное движение может быть устойчивым лишь в слу чае, когда
характеристичные числа всех решений системы (38) суть нули.
След, то есть 2 Pss> Ддя уравнений (38) всегда равен нулю; поэтому, если
невозмущенное движений устойчиво, то сумма ха рактеристичных чисел любой
системы независимых решений уравнений (38) равняется взятому с обратным
знаком характеристик ному числу выражения
e~№Pssdt.
Следовательно, для устойчивого невозмущенного движения система уравнений
в вариациях (38) всегда будет правильной (п. 67), а всякая полная система
независимых решений уравнений (38) - нормальной (п. 67 и 65).
Обозначим через
Esri "Пег (^ 2га)
систему независимых решений уравнений (38), определенных для t: = t0
значениями
l°sr = 6sr. = fi", r-n-
Если невозмущенное движение устойчиво, то решения ?sr, ц5г имеют не
только равные нулю характеристичные числа, но являются также и
ограниченными. Поэтому новая система переменных
zr = 2№.Л.г - Л"?.г) (г = !,-••, 2га),
S
определенная линейным преобразованием с ограниченными коэффициентами, с
равным +1 определителем преобразования и с ограниченными минорами
последнего, имеет такое же обратное преобразование. Переменные zs
удовлетворяют уравнениям с постоянными коэффициентами
? = 0 <г = 1...-.2").
Следовательно, если невозмущенное движение устойчиво, то отвечающие
уравнения в вариациях Пуанкаре (38) являются приводимыми (при помощи
линейных преобразований с ограниченными коэффициентами, допускающих такое
же обратное преобразование) к системе уравнений с постоянными
коэффициентами.
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
151
Зададимся вопросом о группе преобразований, описывающей возмущенные
движения консервативных систем.
Решения |g, уравнений в вариациях Пуанкаре (38), определенные начальными
данными |(r), ц(r), суть
?.= S (?ki + 4?b,n+i),
у= 1 п
ТЦ - (If1!*! + 'Пз'П(r). n+j) (s = • • -1 n).
j=i
Определитель этих линейных преобразований есть А = 1. Значит, соотношения
между ц5 и |(r), Ц(r) представляют группу унимоду-лярных линейных
преобразований.
Но если невозмущенное движение устойчиво, то уравнения в вариациях (38),
будучи приводимыми, должны иметь знакоопределенную квадратичную форму,
полная производная по времени от которой в силу уравнений в вариациях
есть нуль *.
Об устойчивости по первому приближению
69 [12, 13]. Характеристичные числа уравнений первого приближения
позволяют во многих случаях судить об устойчивости и неустойчивости
невозмущенного движения в силу полной системы дифференциальных уравнений
возмущенного движения dx
^ ~ Рв\% 1 "Г • • • "Г Psn^n ~Ь (S = 1, . . ., п),
где коэффициенты первого приближения pST и коэффициенты голоморфных
