Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть производящее решение группы отмеченного элементарного делителя есть
" -_с4г1п>У L..W (*-*".-.(*-("г-1)со) , (п)-1
У*-е (n -1) пг-1 - 1 • • + '
L Рг (r) ("г-1)! J
где суть функции ограниченные и периодические с периодом ^. Подставляя
это решение в коэффициенты линейного интеграла
ИНВАРИАНТНАЯ ПОДСТАНОВКА
161
заданных уравнений (41)
УуХг + . . . + упхп = с, получим после очевидного преобразования
выражение
.71-1
& (пг - 1)! +---+4Г)]е" = ^
где все z-'* обозначают некоторые линейные формы величин х, с
периодическими коэффициентами; с - постоянная. Изменяя г от 1 до к,
получим п линейных, независимых форм zf\ какие можно принять за новые
переменные вместо хп.
Дифференцируя последнее выражение по ( и приравнивая нулю коэффициенты
при одинаковых степенях t, имеем
dz(r)
azl _ 5, ,(г)
dt г1 ' // = 2,. . пт
dt.
где
X z\r> _ т • , Лг*3 *3-1
In pr.
Следовательно, система (41) преобразована в систему с постоянными
коэффициентами; при этом преобразование выполнено посредством неособенной
линейной подстановки с периодическими ограниченными коэффициентами, не
меняющими характеристичных чисел нормальной системы независимых решений.
Отсюда выводим, что
In xr + In - О,
т. е. характеристичные числа уравнений присоединенной системы равны
взятым с обратными знаками характеристичным числам данной, а степени
элементарных делителей корней хг и рг равны между собой х).
Из замеченной зависимости характеристичных чисел от корней
характеристичного уравнения х (х) = О (42) и теорем об устойчивости и
неустойчивости для правильных систем (п. 69, 70) выводим теорему:
Когда характеристичное уравнение % (х) = 0 обладает только корнями,
модули которых fменьше 1, невозмущенное движение устойчиво, независимо от
членов выше первого порядка Xs, и притом так, что всякое возмущенное
движение, достаточно близкое
1) Общие исследования о приводимости линейных уравнений к уравнениям с
постоянными коэффициентами, начатые А. М. Ляпуновым, развил Н. П. Еругин
(Е р у г и и Н. П. Приводимые системы // Тр. Мат. ин-та им. В. А.
Стеклова,- 1946.- № 13).
162
ГЛ. 10. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
к нему, приближается к нему асимптотически. Когда же в числе корней
названного уравнения находятся такие, модули которых больше 1, движение
это неустойчиво независимо от X's.
Сомнительными по отношению к устойчивости, цри существовании членов Xs в
дифференциальных уравнениях возмущенного движения, остаются поэтому
только случаи, когда характеристичный полином % (х), не имея корней с
модулями, большими 1, имеет корни с модулями, равными 1.
Приближенные методы определения
характеристичного уравнения
74. Определение характеристичного уравнения для линейных
дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами составляет
трудную задачу. Если для уравнений с постоянными коэффициентами
составление характеристичного определителя А (к) не требует знания
частных решений, то в случае уравнения с периодическими коэффициентами
при современном состоянии вопроса такое знание необходимо для того, чтобы
можно было построить уравнение х М = 0. Лишь свободный член этого
уравнения может быть найден непосредственно из формулы
О)
X,. е°
Для определения характеристичного уравнения х (х) = 0 обычно применяется
тот или иной приближенный метод интегрирования дифференциальных
уравнений. При этом наиболее удобными являются те независимые частные
решения уравнений (41), какие определены для i = 0 следующими начальными
значениями:
xsr (0) = 6sr.
Элементы азг характеристичного определителя % (х) вычисляются тогда по
таким равенствам (п. 71):
asr xsr (о),
и, значит,
х (х) = 1! х" (со) - 6srx II.
Задачи устойчивости по существу проще задач интегрирования; они не
требуют точного знания характеристичных чисел; надо знать только знаки
последних. А для решения такой задачи могут хорошо служить способы,
которые в задачах интегрирования приводят к расходящимся процессам. Эту
идею впервые применил Ляпунов в исследовании устойчивости установившихся
движений в критических случаях. Но, разумеется, каждый конкретный
результат, добытый подобными приемами, должен быть
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧНОГО УРАВНЕНИЯ
163
дополнительно испытан строгими теоремами об устойчивости или
неустойчивости.
75. Рассмотрим прием, который состоит в замене коэффициентов р)г в
заданных уравнениях их средними значениями за период
О)
Cs? = -^Ipsrdt. о
Устойчивость (неустойчивость) в силу усредненной системы ^ = 4^1 + . • •
+ (s = 1, .... га)
иногда сопровождает устойчивость (неустойчивость) невозмущенного движения
согласно заданным уравнениям (41). Но это не всегда бывает так. Поэтому
важно знать, когда такая подмена уравнений разрешает поставленную задачу
об устойчивости.
Будем вычислять независимые решения х" системы (41), определенные
начальными данными 4?) = xsr (0) = 6sr, по известному методу
последовательных приближений Пикара:
t
xiV = 6ar + S 2 Psi4?_1) dt (к =1,2,...).
0 i
При этом характеристичное уравнение системы (41)
