Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Если все характеристичные числа системы независимых решений положительны,
то все функции xsr будут исчезающими, а невозмущенное движение (xt - ...
- хп = 0) устойчивым.
Если среди характеристичных чисел системы независимых решений найдется
хотя бы одно отрицательное, то среди функций xsr найдется по меньшей мере
одна неограниченная, и, следовательно, невозмущенное движение будет
неустойчиво.
Таким образом, задача об устойчивости или неустойчивости для линейных
уравнений с переменными коэффициентами сводится к вопросу о вычислении по
меньшей мере знака наименьшего характеристичного числа какой-либо из
полных систем ее независимых частных решений. Задача эта не является
разрешенной.
Теорема. Если в системе линейных уравнений (35) коэффициенты стремятся к
определенным пределам csr при неограниченном увеличении t, то ее
наинизшее характеристичное число совпадает с наинизшим характеристичным
числом предельной системы уравнений
dx
-jf- = cnXi + Ь csnxn (s = 1, • • •, и).
Доказательство. Сделаем подстановку
2 = Т
**s a'Sc ¦"
где т] обозначает некоторое постоянное число. Заданные уравнения (35)
преобразуются при этом в систему
dz
•"5f~ = Pslzl ~Г • • • + (Pss + л) zs + • • • + Psnzm (36)
а предельная система теоремы при той же подстановке преобразуется в
предельную систему для (36):
dz
~37" = cslzl + ¦ • • + (css + л) Zs 4~ • • • + csnzn¦ (37)
Обозначим корни характеристического уравнения системы (37)
1! cST - 6sr (х - п) и = о
144
ГЛ. 9. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ
через
*1, • • Ч
Если не существует никаких целых неотрицательных чисел т1,. .. . . тп,
имеющих в сумме 2, для которых уничтожалось бы выражение
+ . . . + тпхп,
то согласно п. 34 будет существовать квадратичная форма W с постоянными
коэффициентами, удовлетворяющая уравнению
^ -fa- [Cslzl + • • • + (css + л) ZS + • • • + csnzn] = Z1 + • • • + zn-
5 s
Форма W будет определенно-отрицательной, если вещественные части всех
корней xs отрицательны (п. 35); она будет для некоторых значений
переменных zt, . . ., zn принимать положительные значения, если среди
корней х1( . . ., хп будет иметься хотя бы один корень с положительной
вещественной частью.
Полная производная по t от такой функции W в силу уравнений (36) будет
dW 2 , , а , V4/ , dW
_ = Zl + .. . + 2n + \ (Psr-csr) zr -gj- .
S
sr
Так как W представляет квадратичную форму с постоянными коэффициентами,
то найдется такое отличное от нуля положительное число е, что при
выполнении неравенств
I Рйт I (r)
правая часть последнего соотношения будет представлять определенно-
положительную квадратичную форму переменных Zj,..zn.
По условию теоремы коэффициенты pSr стремятся с неограниченным ростом t к
числам с,г. Поэтому для положительного числа е, сколь бы мало оно ни
было, найдется такое i0, что при значениях t > <0 абсолютные значения
всех величин pSr - с"г будут меньше е и, следовательно, для всех таких
значений t произ-dW ,
водная -jg будет представлять определенно-положительную функцию.
А это в силу общих теорем Ляпунова об устойчивости и неустойчивости
заставляет заключить, что если при сделанном предположении о корнях Kj, .
. ., хп наибольшая из их вещественных частей отрицательна, то
невозмущенные движения как в системе
(37), так и в системе (36) устойчивы; если же наибольшая вещественная
часть корней xlt . . ., х" положительна, то невозмущенные движения как в
системе (37), так и в системе (36) неустойчивы.
Сделанное предположение о корнях xlt . . ., хп не будет выполняться лишь
для конечного числа значений т). Из вида приме-
ХАРАКТЕРИСТИЧНЫЕ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ
145
ненной нами подстановки мы должны заключить, что наименьшие
характеристичные числа функций гг, . . ., zn, когда хи . . хп принимаются
за частные решения как заданных уравнений, так и предельной системы,
могут равняться нулю одновременно при одном определенном значении
постоянной тр А это доказывает теорему *.
66. Если коэффициенты psr имеют вид
Psr ~ Сsr б/sr-
где е есть некоторый параметр, постоянные cSr не зависят от е, a fSr -
ограничены, то к уравнениям (35) можно отнести уравнения с постоянными
коэффициентами саг. Делая о корнях Я,* уравнения
II Csr - ЬвЛ II = О
прежнее допущение, что они удовлетворяют условию
т^ -1- . . . + тп%п ф О
при любых целых неотрицательных числах тх, . . ., тп, имеющих в сумме 2,
и строя квадратичную форму
V 2 &'rSXrXS ((r)^rs ^sr)'
удовлетворяющую уравнению
(csA + • • • + csnxn) ~fa~ = х\ + • • • + хпг
замечаем, что при достаточно малом | е | и положительном р, меньшем 1,
форма V - р (х\ -j- . . . + х2п) может быть сделана положительной для
произвольных значений переменных. При этом- асимптотическая устойчивость
или неустойчивость невозмущенного движения (хх = 0, . . ., хп = 0)
уравнений с постоянными коффициентами csr отвечают таковым системы (35);
величина е, для которой такое соответствие безусловно существует,
определяется п неравенствами *
>0 (г = 1,...,п), где
hrs Н 2~ sifir)*
