Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
i
Дополнительно можно заметить, что ограниченные функции j sr могут быть
функциями не только t, но и переменных
6 Н. Г. Четаев
Dr
ft"
146
ГЛ. 9. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ
хк хп, стесненных всегда предполагающимися условиями:
при t t0
В этом случае уравнения (35) будут представлять "линеаризацию" некоторых
нелинейных уравнений, а неравенства DT > 0 (г - 1, . . п) будут
определять е и А, для которых указанное соответствие безусловно
существует. Во многих задачах бывает достаточно за постоянные csr принять
значения коэффициентов psr для некоторого фиксированного момента времени
и для нулевых значений переменных х, *.
Можно указать еще один прием для решения задачи устойчивости для
линейного уравнения (35) с переменными коэффициен тами psr (t). Для
каждого значения независимой переменной t уравнение
A (t) = |! psr 6SfA, Ij = О
определяет п корней .... Х", изменяющихся с изменением времени t.
Если ни для какого t t0 не существует целых неотрицательных чисел т., . .
., тпп, равных в сумме 2, для которых уничтожается выражение + . . . 4-
тп%.п, то для таких значений t
будет существовать квадратичная форма
V ~ ^ (r)srxsxr {^sr (r)rs)
с ограниченными коэффициентами ars, зависящими от t, удовлетворяющая
уравнению в частных производных первого порядка
^ (Psixi -)-•••+ Psnxn) = Х1 ~h • • • + хп\
в котором t играет роль параметра.
Форма V будет отрицательна, если вещественные части всех корней Хя
отрицательны; для некоторых значений переменных xs она будет принимать
положительные значения, если среди корней A,lt . . ., А," существует хотя
бы один корень с положительной вещественной частью. Ее полная производная
по времени в силу уравнений (35) есть
dv 2 ; , 2 9V
~dt xi г + хп+ д( •
Главные диагональные миноры дискриминанта этой квадратичной формы суть
ПРАВИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
где
Пусть для всех рассматриваемых t ^ t0 производные a',s ограничены, а все
Dг не меньше некоторого положительного числа; производная Vг по
известному критерию Сильвестра будет тогда определенно-положительной
квадратичной формой переменных zt, . . хп. При этих условиях если V
представляет определенноотрицательную квадратичную форму, то
невозмущенное движение устойчиво; если V еще и допускает бесконечно малый
высший предел, то устойчивость невозмущенного движения будет
асимптотической. Если же форма V допускает бесконечно малый высший предел
и может принимать положительное значение, то невозмущенное движение
неустойчиво *.
Не лишне заметить, что условия устойчивости могут быть в отдельных
случаях улучшены путем варьирования функции V.
Правильные системы
67. Согласно предложению о характеристичном числе произведения (п. 62)
сумма характеристичных чисел функций
2 Pssdt и е- )¦ 2 ptsdi.
не больше нуля. Поэтому если р обозначает характеристичное число второй
из этих функций, то сумма S характеристичных чисел решений нормальной
системы не может превосходить числа -р. Притом равенство S = -р возможно
только при условии, что сумма характеристичных чисел рассматриваемых двух
функций равна нулю.
Систему дифференциальных уравнений (35) условимся называть правильной,
если для нее существует равенство
S р == 0;
в противном случае - неправильной.
Уравнения с постоянными коэффициентами являются, очевидно, правильными. В
дальнейшем будет доказано предложение Ляпунова, что всякая система
уравнений (35), в которой все коэффициенты суть периодические функции t с
одним и тем же вещественным периодом, есть правильная.
Пусть предложена правильная система (35). Через Хк обозначим
характеристичное число решения
•*¦11,4 • • ч %пк
нормальной системы ее независимых решений (к - 1, . . ., п). Согласно
определению правильной системы сумма S = X, + . . . ... + Хп равняется
взятому с обратным знаком характеристич-
в*
148
ГЛ. 9. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ
ному числу функции
e~l^Pssdt.
Обозначим через А определитель, составленный из функций х/г нормальной
системы решений уравнений (35)
А = II хаг ||;
его минор (со знаком), соответствующий элементу хф обозначим через Aij.
Рассмотрим функции
д
Узт - -=
Непосредственным дифференцированием убеждаемся, что при всяком
фиксированном г функции ys = ysr удовлетворяют присоединенной системе
линейных дифференциальных уравнений
dy
-+ b/W/n = 0 (s = 1,.. . .,п).
Решения ysr присоединенной и xsr заданной системы удовлетворяют очевидным
соотношениям
S^sltj/sr == filer-
S
Обозначим через р,. характеристичное число решения у1г, . . . . . ., упг
присоединенной системы уравнений. Из предыдущих соотношений при к = г
имеем
Рг + ^г ^ О-
Если заданная система уравнений есть правильная, то из формулы
У,г = ^г = Се~^р"м Asr (x=l,...,n)
согласно теоремам о характеристичных числах произведений и сумм имеем:
хар. число ysr -кт (s = 1, . . ., и).
Неравенство это справедливо при любом индексе s, а следовательно, и при
его значении, отвечающем среди у1г, . . ., упт функции с наименьшим
характеристичным числом рг, которое по определению принимается за
