Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
коэффициентов определитель
X (*) = \\аи ~ bn* I! = 0. (42)
Корни xlt . . ., хп этого определителя % (х) связаны с фундаментальными
частными решениями наших уравнений.
72 [46]. Допустим, что корни х8 все различны между собой. Они
характеризуют выражения п фундаментальных независимых решений. В самом
деле, пусть х - какой-либо из этих корней. Ему отвечает решение,
обладающее по определению свойством
xs (t -f а) = xxs (t) (s = 1, . . ., и).
Общий вид непрерывных однозначных ограниченных на (0, о) функций xs (<),
удовлетворяющих последнему соотношению, записывается формулой
t ,
- 1П *
(t) = e <¦> <p8 (t),
158
ГЛ. 10. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
где ф5 суть непрерывные ограниченные однозначные функции с периодом (о.
Если корни хг все различны, то получающиеся п фундаментальных решений
будут образовывать систему п независимых решений, обладающую, очевидно,
свойствами нормальной системы.
Когда существуют кратные корни хг, не всегда бывает возможно найти п
независимых решений указанного фундаментального вида. В этом случае
возможно найти фундаментальную систему независимых решений, определенную
для каждого из различных корней х М соотношениями
4^ (t + о>) = К^1) (t),
42> (t + to) = х42) (t) + 4° (t), (43)
4m+1) (t + <o) = x4m+1) (t) -+- 4"') (0
(s = 1, . . n),
где #1°, .... Хп* обозначают искомые фундаментальные решения, связанные с
кратным корнем х.
Пусть
4° = PiVu + • • • +
Для определения постоянных р*г) и наивысшего значения для т после
подстановки этих выражений в предыдущие соотношения и после сравнения
коэффициентов при одинаковых функциях х" (t) получим следующие системы
уравнений (t = 1, . . п):
2 (dij - 6i;-x) pf5 = о.
2(ау-бух)Р<-2) = р1г),
i
2(ay-M)Pri) = Pim>-
i
Эти системы уравнений совпадают с системами (7), подробно изученными в п.
24-28. Приведем полученный результат.
Пусть все элементарные делители определителя % (х) суть
(х - щУ', . . ., (х - х*)"",
где xlt . . ., Xfc обозначают корни определителя % (х); среди них могут
быть и одинаковые. Для всякого такого корня х = хг (г - = 1, . . ., к)
число т отвечающей группы (43) фундаментальных
решений 4*)* • • •" 4г> будет
т - пг - 1.
Сумма
"1 + • • • + Щ = п-
ИНВАРИАНТНАЯ ПОДСТАНОВКА
15"
Формулы для определения постоянных pil) нас не интересуют, так как
постоянные а|;- и частные решения xsr нам известны пока лишь из теоремы
существования. Структура функций х[р, входящих в фундаментальную систему
решений и отвечающих корню х, определяется соотношениями (43). В самом
деле, система (43) допускает последовательные определения структуры
функций х['\ . . ., Хп^' и именно
I<"(() ^ ""Vй m
4" (1) = j <р<" {() <p"> (i) j.
4-*" <f> Гф!" "> +
fi"") + ••• + ""
x со (т - 1)!
где все функции cpij> суть ограниченные и периодические с периодом со. В
этом возможно убедиться непосредственно подстановкой t 4- со вместо t, а
также последовательным интегрированием уравнений в конечных разностях
(43).
Исходя из структуры фундаментальных решений, замечаем,
что вещественные части величин -^1пхг(г -¦= 1, . . ., к) составят
совокупность гах -г . . . + пн - п характеристичных чисел системы
уравнений (41). Полная система фундаментальных решений x(i \ . . ., х{п
составит нормальную систему пх -j- . . . ... + %- = п независимых
решений, потому что всякая линейная комбинация с постоянными
коэффициентами из этих решений имеет характеристичным числом, очевидно,
наименьшее из характеристичных чисел, входящих в комбинацию
фундаментальных решений.
Что найденная система независимых решений есть нормальная, возможно
доказать также следующим способом.
Определитель Д = j| х,г ;j , составленный из системы фундаментальных
решений, в силу соотношений (43) удовлетворяет равенству
Д (t -г со) = хГ' . . - хЦ*Д (О,
в чем убеждаемся непосредственно путем операций с колонками. Но согласно
формуле Лиувилля (п. 65) имеем
0>
,) Е р м са A (t + со) = A(t)e°
160
ГЛ. 10. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
Сравнение с предыдущей формулой дает равенство
(О
5 SpS5df
х?1. . . х"к = е"
Логарифмируя это равенство, получим после деления на ш, что сумма
характеристичных чисел фундаментальной системы независимых решений
равняется
(О
1 (О
ш
эта величина является, с другой стороны, характеристичным числом функции
t
j 2 Pss dt
e°
так как выражение
t
о о
dt
представляет ограниченную периодическую (с периодом о>) функцию. Отсюда
заключаем, что фундаментальная система независимых решений будет
нормальной и что рассматриваемая система дифференциальных уравнений с
периодическими коэффициен-Taifii является правильной (п. 64, 65, 67).
73 [47]. Рассмотрим систему уравнений dy
Ь PlsUl +'•*'* + РпяУп "
присоединенную к заданной. Она также имеет периодические коэффициенты с
вещественным периодом w; для нее возможно также определить
фундаментальную систему независимых решений, разбивающихся на группы,
отвечающие элементарным делителям
(Ц - рг)Пг (Г = 1, . . ., к)
определителя % (ц) присоединенной системы.
