Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
слагаемое в правой части последнего равенства будет неограниченным, а
второе исчезающим; при таком условии характеристичное число суммы хг + х2
равно Х,1.
Характеристичное число произведения двух функций не меньше суммы их
характеристичных чисел.
В самом деле, пусть снова и к2 являются характеристичными числами функций
xt и х2. Функция
х1х2е(,-1+)-,+Е)( = ххе^'! 2 ) tx2e'',r 2 )*
есть исчезающая для всякого отрицательного е. Это и доказывает
предложение.
Что характеристичное число произведения может быть больше суммы
характеристичных чисел множителей, доказывается примером
х, = etsint, х2 = e-,sint.
Каждая из этих функций имеет характеристичное число - 1, а
характеристичное число их произведения равно нулю.
Следствие. Сумма характеристичных чисел функций х
и - не больше нуля.
Если
х = e~(f+i<p)\
где i = Y-1" a f и <р суть некоторые вещественные функции t, то для того,
чтобы сумма характеристичных чисел функций х \
и - была равной нулю, необходимо и достаточно, чтобы функция
/ с беспредельным возрастанием t приближалась к некоторому пределу.
Достаточность очевидна, ибо если функция / стремится с неограниченным
возрастанием t к некоторому пределу к, то последний служит
характеристичным числом функции х.
Необходимость следует из того, что если к и -к суть характеристичные
числа функций х и 1/х, то при всяком данном положительном е, как бы мало
оно ни было, функции
g-1(8-Х+/) д g-<(е+Л,-/)
138 гл. 9. НЕУС!ГАНОВИВШИЕСЯ движения
будут исчезающими, и последнее возможно только при условии
I А. - / |<е
для всех значений t, больших некоторого числа.
Если сумма характеристичных чисел функций х и Их равна нулю, то
характеристичное число произведения функции х на какую-либо функцию у
равняется сумме характеристичных чисел этих последних.
Пусть X, р, S суть характеристичные числа функций х, у, z - ху. Тогда,
прилагая предложение о характеристичном числе произведения к функциям
1
Z=xy, у = 2 - ,
найдем
S X -f- fi, fi ^ S - X,
откуда
S = X + p.
Пусть x есть интегрируемая функция t. Условимся рассматривать интеграл
t
и =\jxdt, и
если характеристичное число функции х отрицательно или нуль, и интеграл
ОС
и = § xdt,
t
если это число положительно.
Характеристичное число интеграла не меньше характеристичного числа
подынтегральной функции.
Пусть X есть характеристичное число подынтегральной функции х. Если Я. 0,
рассмотрим интеграл
ОО
и - § e~(k~^ldt,
t
где 0 аг| Я. Функция при всякой положительной пос-
тоянной а) будет исчезающей и, следовательно, ограниченной. Обозначая
через М высший предел ее модуля при t~^> t0, имеем
ОС
I и I < М ^ e- ^-^dt = . e-^-W.
t
Следовательно, функция
де(Х-е)(
ХАРАКТЕРИСТИЧНЫЕ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ 139
будет исчезающей при всяком е, большем Но ц можно выбрать сколь угодно
малым. Поэтому последняя функция есть исчезающая при всяком положительном
е. А это и доказывает утверждение для положительного Я.
Если Я 0, то для произвольного положительного ^
<
j и |М jj erb-Wdt = -+ const, и
откуда
есть исчезающая функция при всяком е, большем ,т|, а следовательно, и при
всяком положительном е.
Характеристичные числа решений
63 {71. Мы будем рассматривать частные решения линейной системы
дифференциальных уравнений dx
= Psi*г Ч + PsnXn (S = 1,. • • • , Я) (35)
с коэффициентами psr - вещественными, ограниченными, непрерывными
функциями t.
Рассмотрим какое-либо решение
Х{, . . ., хп
линейных дифференциальных уравнений (35). Под характеристичным числом
этого решения условимся понимать наименьшее из характеристичных чисел
функций, входящих в это решение.
Всегда найдется система п линейно независимых решений. Теорема. Всякое
нетривиальное решение системы дифференциальных уравнений (35) имеет
конечное характеристичное число.
Доказательство. Сначала рассмотрим вещественное решение, в котором все xs
суть вещественные функции t.
Введем новые переменные
Z- "у"
s - J'SC '
где Я обозначает некоторую вещественную постоянную. Тогда заданные
уравнения (35) преобразуются в следующие:
dzs
-Л~ = Pslzl + • • • + (Pss + ^) zs + • • • + Psnzn*
Из которых выведем 1 d
140
ГЛ. 9. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ
Вторая часть этого равенства представляет некоторую вещественную
квадратичную форму величин z с коэффициентами, зависящими от к и t. В
силу предположенной ограниченности функций psr, всегда можно найти такие
значения к - к', при которых все главные диагональные миноры
дискриминанта
будут положительными для всех рассматриваемых значений V Для такого
значения к' эта квадратичная форма будет определенно" положительной.
Найдутся также такие значения к = к1У при которых главные диагональные
миноры будут знакопеременны, начиная с отрицательного pti + ki; для
такого Яч стоящая в правой части последнего равенства квадратичная форма
будет определенно-отрицательной.
Отсюда, при всяком к = к' + у, где е - произвольная положительная
постоянная, имеем неравенство
8 S
из которого интегрированием выводим
