Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Четаев Н.Г. -> "Устойчивость движения " -> 50

Устойчивость движения - Четаев Н.Г.

Четаев Н.Г. Устойчивость движения — М.: Наука, 1965. — 176 c.
Скачать (прямая ссылка): ustoychivostdvijeniya1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 63 >> Следующая

Ъй>Се*
S
для всякого рассматриваемого значения t; С обозначает некоторую
положительную постоянную, не превосходящую Sz*oe_et*" где za0 - начальные
значения переменных za, отвечающие начальному моменту t0.
При к = Я,, - у имеем
чг У,2* <-е Y.&
S 8
откуда
Ъ?<С'ег*
S
для всякого рассматриваемого значения t; С' обозначает положительную
постоянную, не меньшую eet,2jzso-
Следовательно, для X = X' + у . при произвольном положительном е, среди
функций za найдется по меньшей мере одна неограниченная, а для к =кх --
все функции za будут исчезающими. Таким образом, наименьшее из
характеристичных чисел функций xs рассматриваемого вещественного
нетривиального решения системы (35) не меньше и не больше к'.
ХАРАКТЕРИСТИЧНЫЕ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ
141
Чтобы обнаружить справедливость теоремы вообще, достаточно заметить, что
всякое комплексное частное решение
X, = + V- 1 VS (s = I, . . ~гП)
составляется из двух вещественных частных решений us и vs.
Примечание. Теорема легко распространяется на случай комплексных р8т,
лишь бы они были непрерывными и ограниченными по модулю функциями t.
Следствие. Если коэффициенты psr дифференциальных уравнений (35) таковы,
что главные диагональные миноры определителя
1 Psr "Ь Prs II
знакопеременны, причем рц отрицательно для всех значений t, превышающих
некоторую постоянную t0, то характеристичные числа частных решений такой
системы все положительны *.
64 [81. Пусть для уравнений (35) найдена какая-либо система линейно
независимых решений
Хук, . . ., хп(k = 1, . . ., га).
Составляя из этих решений надлежащие линейные комбинации, мы можем
вывести всякую другую полную систему независимых решений.
Каждая система независимых решений имеет га характеристичных чисел,
отвечающих входящим в нее га независимым частным решениям. Если все эти
характеристичные числа различны, то характеристичное число любого другого
частного решения, выражающегося линейно через эти независимые решения,
согласно предложению о характеристичном числе суммы (п. 62), будет
равняться какому-либо из характеристичных чисел такой системы независимых
решений. Поэтому система уравнений (35) не может иметь больше га
нетривиальных решений, характеристичные числа которых были бы все
различны.
Если система независимых решений имеет одинаковые характеристичные числа,
то может случиться, что можно найти новую систему независимых частных
решений, сумма характеристичных чисел которой будет больше аналогичной
суммы для начальной. Так как число характеристичных чисел ограничено (не
может быть больше га), то существует полная система частных независимых
решений, для которой сумма характеристичных чисел всех составляющих
решений достигает своего наибольшего значения; такую систему независимых
решений назовем нормальной.
Система независимых решений, характеристичные числа которой все различны,
есть, очевидно, нормальная.
65 [8]. Рассмотрим определитель, составленный из функций xsr системы
независимых частных решений,
А = Кг II-
142 ГЛ. 9. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ
Полная производная по t от него в силу уравнений (35) есть
А' = Л 2 Pss¦
S-1
Интегрирование дает формулу Лиувилля
д =
где С - некоторая постоянная.
Обозначим через
Я.Ц . . ., Хп
характеристичные числа системы независимых решений х1к, . . . . . хпк (к
- 1, . . и). Предложения о характеристичном чис-
ле суммы и произведения (п. 62), примененные к формуле Д = = || xsr ||,
приводят к заключению, что характеристичное число Д не меньше суммы
^1 + • • • +
Другими словами, сумма характеристичных чисел системы независимых решений
уравнений (35) не превосходит характеристичного числа функции
е1 2 Pssdt.
Следствие. Если характеристичное число последней функции отрицательно, то
среди характеристичных чисел Xs будет существовать по меньшей мере одно
отрицательное.
Следствие. Всякая система п независимых решений, для которой сумма
характеристичных чисел всех решений равна характеристичному числу функции
JSpssd<,
есть нормальная.
Следует иметь в виду, что не всегда нормальная система обладает таким
свойством. Например, для системы уравнений
-j- = (sin In t + cos In t) x2,
¦•'fe2- = (sin In t -f- cos In t) xx
функция
? 2 P dt
eJ ** PSS ,
будучи постоянной, имеет характеристичное число, равное нулю, а система
независимых решений
ХАРАКТЕРИСТИЧНЫЕ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ
143
являясь, очевидно, нормальной (так как всякая их линейная комбинация не
может увеличить общего им всем характеристичного числа), имеет сумму
характеристичных чисел (именно -2) меньше нуля. Характеристичные числа
решений определяются здесь подобно последнему из примеров п. 61;
достижимые при t, большем любого заданного наперед числа, высшие пределы
функций ± sin In t равны +1.
Характеристичные числа системы независимых решений, определяя в известном
смысле рост функций xsr при неограниченно возрастающем t, непосредственно
дают условия устойчивости или неустойчивости тривиального решения хх - .
. . = хп - 0 системы (35).
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 63 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed