Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Четаев Н.Г. -> "Устойчивость движения " -> 54

Устойчивость движения - Четаев Н.Г.

Четаев Н.Г. Устойчивость движения — М.: Наука, 1965. — 176 c.
Скачать (прямая ссылка): ustoychivostdvijeniya1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 63 >> Следующая

относительно х1? . . ., хп функций Xs представляют вещественные
непрерывные ограниченные функции t.
Теорема Ляпунова. Если система дифференциальных уравнений первого
приближения есть правильная и если все ее характеристичные числа
положительны, то невозмущенное движение устойчиво.
Ляпунов осуществил доказательство этой важной теоремы при помощи
некоторых рядов, удовлетворяющих уравнениям возмущенного движения. Но ее
можно доказать также и прямым методом.
Рассмотрим нормальную систему независимых решений х1г, . . ., хпТ (г = 1,
. . ., п) для уравнений первого приближения. Составим далее нормальную
систему независимых решений присоединенной системы по формулам
где А = || xsr ||, a Asr обозначает минор определителя А, отвечающий
элементу х" (п. 67). Пусть A,lt . . ., Кп суть характеристичные
152
ГЛ. 9. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ
числа решений заданных уравнений в вариациях; так как заданная система
предполагается правильной, характеристичными числами решений
присоединенной системы будут -А1, . . - Хп.
Введем новые переменные
zr = (г = 1, . . "),
S
где е обозначает некоторое положительное число, меньшее любого из
характеристичных чисел Кг. Пользуясь выписанным преобразованием, в силу
предположенной правильности уравнений в вариациях, находим *):
хар. число {z,.} хар. число {zs} - е; обратное преобразование
2 zreiXr~E)txar = 2xs QB#sr*or) = Ха
Г S Г
приводит к неравенству
хар. число {;rs} ^ хар. число {zr} + е.
Следовательно,
хар. число {zr} = хар. число {#s} - е.
Рассмотрим знакоопределенную относительно zv . . ., zn квадратичную форму
2V =2 г*.
Г
Ее полная производная по t есть где
Г" S
как функция новых переменных R (t, zlt . . z") имеет коэффи-
циентами в своем разложении по целым положительным степеням переменных
zx, . . ., zn исчезающие функции t при всяком положительном е; разложение
R начинается с членов по меньшей мере третьей степени.
тт dV
Для численно малых значении переменных zT производная
будет определенно-отрицательной функцией величин zx, . . ., zn. В силу
теоремы Ляпунова об устойчивости заключаем отсюда, что невозмущенное
движение устойчиво по отношению к пере-
1) Символом {zr}| обозначается система функций zt, . . ., zn.
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
153
менвым zx, . . ., zn; причем всякое возмущенное движение, достаточно
близкое к невозмущенному, стремится к последнему по значениям zr
асимптотически.
Для всякого положительного tj, сколь бы мало оно ни было, и для всякого
t, большего некоторой постоянной Т, в силу свойств функции R (<, zlt . .
., zn), как функции с исчезающими коэффициентами и начинающейся в своем
разложении с членов по крайней мере третьего измерения относительно zs,
можно найти область достаточно малых численных значений zlt . . ., z",
внутри которой
| R(t, zv ¦ . -, Zn)|<ilSz?-
Г
При этих условиях во все время f Т, пока значения переменных zlt . . .,
zn не покинули указанную область (если есть наименьшее из
характеристичных чисел А^, . . ., А"), имеем
г г
и следовательно, если начальные значения zs0 выбраны так, чтобы при
изменении t от t0 до Т значения переменных находились в указанной
области, а постоянная т) удовлетворяла неравенству А,х
е + ц, при дальнейшем изменении t будем иметь]
Г
Отсюда
хар. число {zr} > A,j - е - ц
и, следовательно,
хар. число {;rs} > А,х - т] 0.
Этим доказывается устойчивость невозмущенного движения по отношению к
переменным хи . . ., хп и то, что всякое достаточно близкое возмущенное
движение стремится к нему асимптотически.
70. Теорема. Если система дифференциальных уравнений первого приближения
есть правильная и среди ее характеристичных чисел имеется хотя бы одно
отрицательное, то невозмущенное движение неустойчиво.
Доказательство. Введем новые переменные
2r =
S
Отсюда характеристичное число функции zr не меньше наименьшего из
характеристичных чисел функций xsysre~Xr\ а последнее не меньше
характеристичного числа системы функций *!,..., хп, ибо характеристичное
число ySTe~^rt не меньше нуля,
154
ГЛ. 9. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ
если уравнения первого приближения правильны. Это соотношение имеет место
при всяком г, поэтому
хар. число {zr} хар. число {xs}.
Для переменных zf имеем следующие дифференциальные уравнения:
"5Г = - Мг + y%Xsysre~i'rl (г = 1....,").
S
Допустим, что среди характеристичных чисел Я*, . . ., Я" по меньшей мере
одно, пусть Ях, отрицательно. Неустойчивость невозмущенного движения (по
отношению к переменным хг, . . ., хп) будем доказывать от противного.
Если невозмущенное движение устойчиво, то для заданного малого
положительного числа А будет существовать такое положительное число R.
что при произвольных начальных возмущениях х]0, . . ., х"0.
удовлетворяющих неравенству
2 4о < Я, (39)
•s S
для всякого I. большего t0, будет выполняться неравенство
2**. < А. (40)
S
Из уравнения г = 1 последней системы уравнений следует
Zj = се-?-( + е-к'( ^ 2 Х*Узidt<
$
где с -- некоторая постоянная. Разложения функций Xs по целым
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 63 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed