Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
?
(4slzl + • • • + 4snzn) - Z1 + • • • + Zn-
s
Взятая в силу последних уравнений полная производная по 0 от этой формы W
будет
^ -zl+...+zl +
dQ
(Cslzl + • • • + CsnZn) ---------------
dW
Так как csr суть голоморфные функции с для всех вещественных значений 0,
уничтожающиеся при с = 0, то можно назначить некоторую положительную
постоянную А, чтобы при с, численно не превосходящем А, квадратичная
форма;
г - , г , V3 /" , , л dW
Z1 ~Г • • • + zn + / , (cslzx + • • • + CsnZn) Qz s s
была определенно-положительной относительно zs для всех вещественных
значений 0. При этом для достаточно малых по абсолютной величине значений
zs (пусть 2 Zs ^ R) производная ^ будет определенно-положительной. А это
в силу теоремы Ляпунова (п. 11) доказывает, что невозмущенное движение
будет устойчивым по отношению к переменным zx, . . zn, независимо от
значений с, лишь бы абсолютные значения последней были меньше А, причем
достаточно близкое возмущенное движение будет асимптотически стремиться к
движению z - с, zx - 0, . . ., г" = 0.
Определенно-положительная функция V - -W имеет не зависящие от с
постоянные коэффициенты. Пусть I есть точный верхний предел функции V на
сфере z\ + ... + z^ = А. Функция V, как не зависящая явно от 0, допускает
бесконечно малый высший предел и, стало быть, для I найдется число е
такое, что при
2jz? < е
будет иметь место неравенство V < I. Так определенное число е не зависит
от с. Отсюда при всяком значении | с |, лишь бы оно было меньше А, для
всякого положительного числа А ^ R определенное выше не зависящее от с
число е обладает тем свойством,
5*
132
ГЛ. 8. ПАРА ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ
что при начальных возмущениях, подчиненных условию
21о,
s
для любого вещественного 0 будет выполняться неравенство
2 ?<а.
s
Этим доказывается устойчивость невозмущенного движения по отношению к
величинам zx, .. ., zn, с, что равнозначно его устойчивости по отношению
к z, zx, .... zn, а тем самым и к начальным переменным х, у, хх, . . .,
хп.
60 [39, 411. Пример. Рассмотрим дифференциальные уравнения возмущенного
движения
-?. = _х" + х,.?- = "*+у.
где X, Y суть голоморфные функции х, у, начинающиеся в своих разложениях
с членов по меньшей мере второго порядка и удовлетворяющие уравнению
+-?- = 0.
дх ду
Согласно последнему соотношению существует некоторая голоморфная функция
ф (х, у), начинающаяся в разложении с членов третьего порядка, такая, что
ду дх
Предложенные уравнения являются каноническими и будут иметь следующий
интеграл:
х2 + у2 + -j- ф (х, у) = с,
где с - некоторая постоянная, неизбежно положительная для достаточно
малых по абсолютной величине значений х, у. Делая подстановку х = г cos
0, у - г sin 0 и разрешая полученный интеграл относительно г, получим
выражение г в виде периодической функции 0.
Следовательно, невозмущенное движение будет устойчивым (п. 59), что можно
заметить также в силу общей теоремы Ляпунова об устойчивости, если за
функцию V принять левую часть указанного определенно-положительного
интеграла.
Пример. Даны уравнения
dx . dy " dz . j
-gp + у = ayz, ~jt a: == $xz, +kz = yxy,
в которых к обозначает положительную, а а, р, у - какие угодно
вещественные постоянные.
КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ
133
Периодическое решение будем искать по способу, изложенному в п. 57.
Замечая, что предложенные уравнения не меняются при замене х на -х и у на
-у, получаем
X = с COS т + ,г(r)с3 -f .г(r) с6 -f- . • •
у - с sin т 4* у(r)с3 4- */(r)с5 + . . .,
z - Z(r)C2 4- z(r)c* 4-----
Для определения функции z(2) получаем уравнение
dz(r)
kz^ = sin 2т.,
dx ~ " 2
которое имеет периодическое решение
Z<8) = '2(*"+4)' (Л sin 2т - 2 cos 2т) • Для определения х<3), у(3) имеем
уравнения
dr(r)
--------4 у(з) - - /г2 sin т 4- az(r) sin т,,
dy(3>
х(з) - h2 cos т 4- Pz(r) cos т.
dx
Подставляя в правые части этих уравнений найденное выражение для z<2>,
имеем при разложении по синусам и косинусам кратных дуг выражений Х<3> =
az(r) sin т и У(r) = Pz(r) cos т следующие интересующие нас члены:
у(3) _ аук _____________ у(з)_
А - 4(*2Jr4) C0ST + • • • ' Г 4(**4-4) sinT+ • •
откуда
__ ("4-Р)У^ s 8 (A2+ 4) '
Поэтому (п. 56) если (a 4" P) У < 0, то невозмущенное движение устойчиво,
а если (а 4- Р) у 0, то невозмущенное движение неустойчиво. Если (а 4- Р)
у = 0, то предложенная система уравнений допускает интеграл
х2 у2 = const,
и, следовательно, если делается подстановка х = г cos 0, у = = г sin 0,
то г будет периодической функцией 0 (г = с). В п. 55 мы установили, что
если м(r) будут получаться периодическими (в рассматриваемом случае все м(r)
= 0 при v = 2, 3, . . .), то искомое периодическое решение (31) будет
формально всегда существовать (можно доказать, что при этом ряды (31)
будут сходящимися). Мы должны заключить (п. 39), что невозмущенное
движение будет при (a -j- Р) V = 0 устойчивым.
134
ГЛ. 8. ПАРА ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ
Замечание. Критический случай, когда уравнения первого приближения имеют
