Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Четаев Н.Г. -> "Устойчивость движения " -> 59

Устойчивость движения - Четаев Н.Г.

Четаев Н.Г. Устойчивость движения — М.: Наука, 1965. — 176 c.
Скачать (прямая ссылка): ustoychivostdvijeniya1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 .. 63 >> Следующая

функций х,г системы независимых решений, определенных начальными
условиями хаг (0) = Xsf == 6sr, будут при сделанных предположениях
абсолютно сходящимися для | р | = М.
Доказательство. Рассмотрим систему dx
~ (r) (Pal^l ~f' ¦ • • "Г PsiAi)
с новым вспомогательным параметром е. Решения xs, для последних уравнений
будем искать в виде
xar bar -f- sxst- -(- e2xar ¦ I . . ., функции xfr определяются
последовательно по формулам
t
4гк)=$2р.я#-1>л (л = i,2,...),
0 j
откуда
t
1 к п ^ р dt,
о
t t
I 4к|< га2 Up Spdt\dt.
0 0
СПОСОБ ЛЯПУНОВА
167
Интегрируя по частям выражение, стоящее в правой части последнего
неравенства, можем преобразовать его и получить
14^1
о
и аналогично
о
Следовательно, при е О и t > 0 имеем
е
Je|n j р dt
\ б4г*! + j 624г* | 4~ • • • ^ ^ 0 - 1 •
Для е = 1 и ( = и из последнего неравенства при сделанных предположениях
мы должны заключить, что xsr (ш) разлагаются в абсолютно сходящиеся ряды
по степеням р при | р ! - М. Предложение доказано.
Допустим теперь, что мы умеем интегрировать систему (41) в предположении
р = 0. Тогда если функции xs при р Ф 0 будем искать в виде рядов,
расположенных по степеням параметра р, то для определения коэффициентов в
этих рядах получим системы дифференциальных уравнений, которые будут
интегрироваться в известной последовательности посредством квадратур.
77 [49). Рассмотрим уравнение
= °. (")
где р есть ограниченная непрерывная периодическая функция t с
вещественным (пусть положительным) периодом ы. В соответствии с
изложенным методом малого параметра р заменим это уравнение таким:
d^x
Жг = р рх,
и ищем независимые решения последнего уравнения в виде
х = / = 1 + рД + р2/2 + . .
X = ф = t + Рфх + р2фг + . . .,
где fn, ф" суть функции t, уничтожающиеся вместе с первыми производными,
когда t равно нулю. Функции /п, фп вычисляются последовательно по
формулам
t t t t
fn = *\dt \ pfn_xdt, ф" = § dt J рфп_! dt 0 0 0 0 при условии /0 - 1, <p0
= t.
168 ГЛ. 10. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
Если мы заменим уравнение системой линейных уравнений dx , dx'
Tt=x' -2F = W"'
то получим (п. 71), что характеристичное уравнение будет
/ (со) - х /' (со)
Ф (со) ф' (со) - х
где 2А = / (ы) + ф' (со).
Если И2 1, то корни характеристичного уравнения будут вещественными и
один из них численно больше, другой численно меньше 1; если А2 1, то
характеристичные корни будут мнимыми и будут иметь модули, равные 1.
Из формулы
Х("0 =
2Ах 4-1=0,
А = 1 + \ ^ [/" N + Ф" М] р"
п-1
и из того обстоятельства, что при р 0 функции /п (со), ф^ (со) получаются
положительными для четного п и отрицательными для нечетного п, заключаем:
если функция р может принимать только отрицательные или нулевые значения
(не будучи нулем тождественно), то корни характеристичного уравнения,
отвечающего заданному уравнению (р = -1), всегда будут вещественными и
один из них, по модулю, будет больше, а другой меньше 1.
Остановимся теперь на случае, когда функция р может иметь только
неотрицательные значения, не обращаясь тождественно в нуль.
Интегрируя по частям и используя соотношения /0 = 1, ф0 = t, получаем
равенство
Ш
л и + Фг н = (r) S рdt-
о
Для положительного t и при п ]> 1 функции /" (t), <р'п (t) удовлетворяют
неравенству
t
Sn = (/n-i+ фп-i) t^pdt - 2n (fn+ фй)> o.
0
Действительно, из формулы
<* ds~
Jtt*
О
непосредственно имеем
t
$п - S (Рп + рФп)
СПОСОБ ЛЯПУНОВА
169
где
t t
Fn = */'"_!Ip dt + (/n_i -f фп-i)\pdt - 2nf'n,
0
t
Ф" = <фп-2 ]pdt + (/"-!+ фп-l) t - 2"(pn_i.
0
Совершая над Fn, Фп преобразование, подобное совершенному над функцией
SnJ получим
t t t
Fn = S (2/n-i $pdt + pu") dt, Фп = I (2pt(fn_2 + vn) dt,
0 0 0
где
t
"п = (фп-2 + tfn-i) I P dt + фп-l + tf'n-1 - (2/1 - 1) fn_v 0 t
vn = (фп-2 + <Фп-2) $ P dt + /"-1 + tin-1 - (2/i - 1) фп_х.
0
При сделанных предположениях о неотрицательности р функции /п" /п* фп* фп
для всякого п будут получаться положительными для t 0. И, следовательно,
функции Fn, Фп будут положительными, если положительными будут ип, vn. А
если над функциями ип, vn произвести преобразование, примененное к Sn,
Фп, Fn, то можно получить
t
ип = 1 (2Р (фп-2 + tfn-г) + Fn-1) dt,
О
t t
Vn = S + 2фп-г ^pdt + рФп-jj dt. о 0
Из этих формул заключаем, что, если для положительных значений t имеют
место неравенства Fn~i О, Ф"-! 0, то для таких
же значений t будут иметь место неравенства Fn >0, Ф" > О, а тем самым и
неравенство Sn 0.
Для п = 2 и положительного t имеем
/ t t
- 2§{(§pdl) +2рф][|йг>0, Ф2 = 2 §(р<2 -f 2fj)dt >0.
о 1 о ' J о
Этим неравенство Sn ^> 0 можно считать доказанным. Полагая в нем 1 = 0),
будем иметь
f
Ь>
" Н + фп (<•>) < [/"-1 (ы) + ф'"-1 (О))] jj р dt.
170
ГЛ. 10. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
Выражение А для уравнения (45) принимает вид
оо
а=1+41](-1)П [/п и+фп (to)]-
п~Х
В силу последнего неравенства находим
{j} оо Ш
i - + - 4^Т2S Рdt) (") + ФгпN]< А.
О п=1 О
оо Ш
А < 1 - ~ ^ (j - ^ J Р Л) [/гп-i М + фгп-i И].
n-1 О
Следовательно, если
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 .. 63 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed