Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Четаев Н.Г. -> "Устойчивость движения " -> 58

Устойчивость движения - Четаев Н.Г.

Четаев Н.Г. Устойчивость движения — М.: Наука, 1965. — 176 c.
Скачать (прямая ссылка): ustoychivostdvijeniya1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 .. 63 >> Следующая

% (") = II *sr (") - Ssrx II = 0 определяется в к-м приближении как
ЗСк(и)= I! 4^ (") - 6srx II = 0.
В к-м приближении мы можем отнести системе (41) уравнения с постоянными
коэффициентами
Цр = C(si4 + h с^-Гп, (44)
где
сг"= 4" S ^ р^~1) dt-
О i
Корни . . ., кУР характеристичного уравнения системы (44)
д* М = II - ь8гк и = о
связаны с корнями xli \ . . ., х("К) уравнения Хк- (*) == 0 соотношениями
*<*> _ 1 = ые>.
164
ГЛ. 10. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
Если ни для каких целых неотрицательных значений mlt . . .
. . тп, имеющих в сумме 2, не уничтожается выражение
т^ + . . . + тпХп,
где Xs суть корни Ак (Я), то согласно изложенному в п. 34 для системы
(44) возможно найти вещественную квадратичную форму с симметричными
коэффициентами brs = bsr
2F|f = ^}bSTxsxr
rs
такую, чтобы
(4J4 + • • • + csnXn) = x\ + . . . -f- Xn¦
s s
Полная производная от FK- по t, взятая в силу заданных уравнений (41),
есть
у'и = 2 bsipirxsxr.
г, s, i
Эта производная Ул будет определенно-положительной, если найдется
положительное число р. такое, чтобы вещественная квадратичная форма с
периодическими коэффициентами
Eft р (Х\ ~Ь %п) 2 bsi (Pir pcir ) хьхг
irs
имела дискриминант
главные диагональные миноры которого были бы все положительны, причем
а(л'=4" ^ (pts ~+b$i (pir ~~ =h
i
Но если Уц определенно-положительна, то асимптотическая устойчивость
(неустойчивость) невозмущенного движения в уравнениях (44) сопутствует
таковой в заданных уравнениях (41).
В первом приближении (к - 1) система (44) совпадает с усредненной
системой, а только что сделанный вывод дает достаточные условия (в виде
определенно-положительности Fi) для того, чтобы асимптотическая
устойчивость (неустойчивость) невозмущенного движения в усредненных
уравнениях (к= 1) сопутствовала асимптотической устойчивости
(неустойчивости) невозмущенного движения в заданных уравнениях (41)*.
Пр имечание. Если в каком-либо из рассмотренных случаев корни Xs таковы,
что существуют целые неотрицательные числа ms, имеющие в сумме 2, для
которых уничтожается выражение -(-... + тпкп, и существует по крайней
мере одно отрицательное характеристичное число Х8, то введением новых
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧНОГО УРАВНЕНИЯ
165
переменных
us - хве~^1
при достаточно малом положительном rj мы сведем вопрос к рассмотренному
случаю, так как изменения переменных xs с течением времени не будут все
ограниченными, если некоторые из переменных Uj будут неограниченными.
Определение независимых решений xsr по методу Пикара при нулевом
приближении
xi0) = 8
приводит вообще к недостаточно быстрой сходимости последовательных
приближений, так как приходится произвести достаточное число приближений,
чтобы в нарастающих степенях t накопить достаточное число членов
экспонента который в этом процессе не может появиться, кроме как
разложенным в ряд.
Пример. Рассмотрим систему
dr ' \ \
Л - ^----^ + га cos х + (1 - га sin 21) у,
= (-1 - га sin 2t) x-j- ^-eacos2fjy,
где a - некоторое положительное число, а е - параметр. Их осредненные
уравнения суть:
dx 1
3F = -Т Х + У'
dy 1
ж = ~х~2У-
Для последних функция У, о какой была речь, представляет определенно-
отрицательную квадратичную форму
У = -(х2 + у2}.
Другими словами, невозмущенное движение (х = 0, у = 0) асимптотически
устойчиво в системе уравнений с осреднеиными коэффициентами. Полная
производная по t от этой функции У в силу заданных уравнений есть:
У' = х2 -j- у2 - 2еа [(хг - у2) cos It - 2ху sin 21];
дискриминант У' имеет все главные диагональные миноры положительными,
если численная величина е меньше ~ . Стало быть,
если j г 1 ' то невозмущенное движение в силу заданных урав-
нений будет асимптотически устойчивым. Можно заметить, что
3
при г = jr- заданные уравнения делают невозмущенное движение
неустойчивым.
166
ГЛ. 10. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
Способ Ляпунова
76 [48]. Ляпунов развивал другой способ вычисления независимых решений
хат, определенных начальными данными - 6аг.
Рассмотрим случай, когда в системе (41) коэффициенты раг зависят от
некоторого вещественного параметра р. Допустим, что коэффициенты раг
могут быть представлены рядами по целым положительным степеням р,
сходящимися абсолютно и равномерно для всех вещественных значений t по
крайней мере при р, абсолютная величина которого j р | не превосходит
некоторое число М. Допустим также, что пока j р | не превосходит М,
коэффициенты раг являются непрерывными ограниченными функциями для
всякого t 0, и пусть период ы не зависит от р.
Пусть р есть ряд, расположенный по целым положительным степеням р,
коэффициенты которого представляют периодические функции t\ значения этих
коэффициентов при любой степени р и для всякого t 0 равны наибольшему из
модулей коэффициентов разложений раг, отвечающих той же степени р и тому
же значению t.
Если при
I И ! = М
ряд р равномерно сходится для всех вещественных значений t, то ряды,
которыми представляются значения
xar (ы) (s, г = 1, . . ., п)
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 .. 63 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed