Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
где Zs будут голоморфными функциями zx, . . ., zn с коэффициентами,
являющимися голоморфными функциями постоянной с; причем разложения Zs
будут начинаться с членов не ниже второго порядка относительно zx, . . .,
zn.
Наша задача об устойчивости по отношению к величинам z, zx, . . ., zn
равносильна задаче об устойчивости по отношению к величинам с, zx, . . .,
zn. Действительно, всяким численно достаточно малым значениям одних
величин отвечают сколь угодно численно малые значения других.
114
ГЛ. 7. СЛУЧАЙ С ОДНИМ НУЛЕВЫМ КОРНЕМ
При всяком с, достаточно малом по абсолютной величине, вопрос об
устойчивости по отношению к величинам zlt . . ., zn приводится к
исследованию уравнений (28), характеристическое уравнение которых
D (к) - ;1 ptj -j- C'lj - 6*jk || = 0
имеет при таком с все корни с отрицательными вещественными частями.
Вследствие этого при всяком с, достаточно малом по абсолютной величине,
для всякого данного положительного а найдется такое положительное число
е, чтобы при выполнении в начальный момент времени условия
Х4)<е
i
во все последующее время движения выполнялось следующее:
о
I
и чтобы при тех же условиях функции zs с беспредельным возрастанием t
стремились к нулю.
Однако отсюда мы еще не имеем права заключать, что невозмущенное движение
устойчиво. Для того чтобы такое заключение было законно, необходимо,
чтобы при | с |, не превосходящем некоторого числа, можно было выбирать е
не зависящим от с.
Рассмотрим определенно-отрицательную квадратичную форму V, определенную
уравнением
(Pslzl -Г • ¦ ¦ + Psnzn) - 2l + • • • + Zn-
s s
Полная производная no t от такой функции V, взятая в силу уравнений (28),
есть
dV 2 , , 2 • V1 / , , , dV
- 2j -j- . . . -j- Zn -j- 2^ (cslzl + • • • + csnzn + Zs) -jj- •
s s
Постоянные cu являются голоморфными функциями с, уничтожающимися при с,
равном нулю, значит, для значений с, достаточно малых по абсолютной
величине, правая часть последнего равенства будет представлять
определенно-положительную функцию в области достаточно малых абсолютных
значений переменных Zj, . . ., z," независимо от значения с, меньшего
некоторого достаточно малого числа. Это обстоятельство и доказывает
возможность выбрать число е не зависящим от с (п. 8).
Таким образом, приходим к заключению, что в случае, когда Z0, Z.,
обращаются в нуль, невозмущенное движение устойчиво, а возмущенное
движение, достаточно близкое к невозмущенному, будет асимптотически
приближаться к некоторому установившемуся
АНАЛИЗ РАЗЛИЧНЫХ СЛУЧАЕВ
115
движению
х - с, Zj - 0, . . z" -¦=- О.
52 [32J. Пример. Дана система
- = ах2 -f bxy -и су", = - г/ -{- кх + 1х2 + тал/ + иг/г
с постоянными а, b. с, А-, /, т, п. Из уравнения
- г/ + /с.г' + № + лгху -f- пу2 = О
находим
у и (х) кх Г В2Х2 -)- В3Х3
где
В2 I -{- тк + пА2,
В3 - (т + 2пА) В2, . . .
Отсюда
Zn ----- ах2 -1 бхг/ -f- си2 = Л2х2 -}- Л З.г' 4- Л4а.'* -f . .
где
А 2 = в - bk ; ¦ ск2.
А3 = (6 + 2сА) Я2,
Л4 = (6 + 2сА) В3 4 cBl . . .
Если А2 отлично от нуля, то невозмущенное движение неустойчиво.
Пусть А2 - а + Ьк -\- ск2 = 0. Если при этом В2 - 0 (что влечет за собой
равенство нулю и всех остальных коэффициентов В и А), то невозмущенное
движение будет устойчивым.
Допустим, что В2 не нуль. Устойчивость будет определяться знаком А3,
когда b + 2ск отлично от нуля. А если Ъ -j- 2ск = 0, то при с, отличном
от нуля, коэффициент А4 будет отличен от нуля и, следовательно, будет
иметь место неустойчивость; при с = 0 из уравнений Ъ + 2ск = 0, Л2 = 0
следует а - 0, b = 0, а тем самым Z(0) - 0: невозмущенное движение будет
устойчиво.
ГЛАВА 8
ПАРА ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ
Преобразование уравнений
53 [33]. Путем определения вещественных канонических переменных (п. 30),
отвечающих паре чисто мнимых корней систему дифференциальных уравнений
возмущенного движения можем преобразовать в таком случае к следующему
виду:
Здесь X, Y, Xs суть голоморфные функции вещественных переменных х, у, xlt
. . хп, разложения которых начинаются членами не ниже второго порядка и
обладают постоянными вещественными коэффициентами; pSr, as, ps суть
некоторые вещественные постоянные, причем все корни уравнения
имеют отрицательные вещественные части; для определенности будем считать
к положительной постоянной.
Можно предположить, что функции X и Y обращаются в нуль, когда х л у
делаются нулями. Действительно, допустим, что этого нет. Определим хну
как голоморфные функции переменных ху, . . ., хп, удовлетворяющие
уравнениям
~Hf~ - Рпх1 + • • • + Рзпхп 4* а'ах 4* РзР 4 X
dx
ИГ
dx"
ку 4~ X, кх -f- F,
(29)
в
(s = 1, . . ., п).
|| pSr - 8Srn || = 0
8
(Рз1х1 *Г • • • + Psnxn + asx 4" PsP 4~ X.) кх + Y
и содержащие в своих разложениях члены не ниже второго порядка
X = щ + я, + . . ., у = у2 -f v3 -f . .
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ Ц7
где ит, vm суть однородные функции степени т от переменных аг" . . ., хп.
Для последовательного определения ит, vm получим уравнения
Zdu
(PsЛ + • • • -г р,"аг") = - Xi?m + Рт,
