Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
vР = Л6 J е~ж,в [(el cos 0 + bs sin 0) и<*> - + V(tm)] dQ,
120
ГЛ. 8. ПАРА ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ
и, следовательно, всякий раз, когда стоящие здесь в квадратных скобках
выражения представляют целые рациональные функции sin 0 и cos 0, такими
же будут получаться и функции v^\ а тем самым и и^\ линейно зависящие от
последних 1).
Для к = 1 функции г4г) получаются указанного вида, ибо uW = 1, а все Fs1*
суть нули.
Возможность или невозможность к-то шага в процессе последовательного
определения функций и(к\ v(sk) зависит от возможности или невозможности
периодического решения для uW
е
"<*> = J UmdQ.
О
Допустим, что все функции для которых р меньше не-
которого числа тп, найдены и представляют периодические функции 0. Тогда
функцию ЕЛ"1> можно будет представить под видом конечного ряда синусов и
косинусов целых кратных дуг 0, и если в этом ряду не окажется постоянного
члена, то функция а следовательно, и все i4m) будут периодическими. В
противном случае функция и1-'"'' будет вида "(т) = gQ -j- v, где g есть
некоторая отличная от нуля постоянная, ар - конечный ряд синусов и
косинусов кратных дуг 0. При этом в функции г|т) войдут вековые члены.
Допустим, что имеет место этот последний случай.
Предполагая, что вычисление было выполнено таким образом, чтобы все
функции и<р\ uiP\ v (р < m) были вещественными для вещественного 0,
преобразуем уравнения (30) посредством подстановки
г = Z + u<2>z2 + . . . + n(rn-1>zm-1 + vzm,
xs - u(1)z + (42,Z2 + . . . + u(:a-l)zm 1 + zs,
где z, zlt . . ., zn суть новые переменные вместо прежних г, хх, . . . .
. ., хп. Преобразованные уравнения будут иметь вид
z7
dQ - ZZ'
Qsizi + • • ¦ + ?snzti + Zs,
(32)
где
zZ =
dQ
rR _ - ... - U^-Uz(tm)-1 - (F<m) - g) Zm
1 + 2u<2>z + . . . + (m - 1) u<m-Vzm-2 + mvz(tm)-1 '
•) Г у p с а Э. Курс математического анализа. Т. 1, ч. 1: Пер. с фр.- М.:
ГТТИ, 1933,- (См. § 103).
КРИТЬРИЛ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ
121
Zs = Qs - U(tm)z - ... - UT~1]z^ -b (a, cos 0 ft, sin 0) _
- [t4l) H- 2;42)z -J- . . . 4- (m - 1) i4m_1)zm-2] zZ.
функции Z, Zs являются голоморфными функциями переменных z, z1? .... zn с
коэффициентами, зависящими от вещественных значений 9 под видом конечных
рядов синусов и косинусов целых кратностей 9. Функции эти уничтожаются
при равенстве нулю всех zs и z; причем Zs не содержат в своих разложениях
членов первого порядка.
Если через Z<0), Zs0) обозначить функции Z, Zs, когда в последних
положено
Zi - 0, . . ., zn - О,
то разложение ZW по восходящим целым степеням z будет начинаться (т - 1)-
й степенью с постоянным коэффициентом g, а разложения функций Zs0) будут
содержать z в степенях не ниже тп-й.
Таким образом, уравнения (32) обладают всеми свойствами, к каким мы
стремились при исследовании устойчивости в случае одного корня, равного
нулю.
Критерий устойчивости и неустойчивости
56 1371. Пусть
ZZ - gZm + P^h -г • • . -г /Jim-Dz'11'1 -f R,
Zs -- p(tm)z - . . . -г P(:n-l)zn~l -г Rs,
где P(i\ P{3) суть линейные формы переменных zl5 . . ., zn с
периодическими относительно 9 коэффициентами; R - голоморфная функция
переменных z, zs, разложение которой имеет такие же коэффициенты, причем
/?(0) содержит z в степенях не ниже (т + + 1)-й, а линейные относительно
zu . . ., zn члены содержат z в степени не ниже т-й; Rs - голоморфные
функции z. z.,, разложения которых в членах, линейных относительно z1; .
. .. zn, могут содержать z только в степенях выше (т. - 1)-й; при = - . .
. = zn - 0 функции R, содержат z в степенях не ниже т-й.
Для решения задачи об устойчивости рассмотрим функцию
Т -= z -j- W + W(tm)z -f . . . -г
где суть линейные формы, a W - квадратичная форма от
переменных гг, . . ., zn. Коэффициенты в W будем предполагать
постоянными, а в - некоторыми периодическими функциями 9.
Постараемся коэффициентами в формах W распорядиться
так, чтобы полная производная от функции V по 9 была знако-
122
ГЛ. 8. ПАРА ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЯ
определенной при z О
- s (2'п ~Ь ZJ + • • • + zn) + s,
причем
S = vzm + 2 vsrzezr,
3, Г
где v, vST - какие-то голоморфные функции z, zlt . . ., z",
уничтожающиеся, когда все переменные z, zs делаются нулями. Согласно
уравнениям (32) имеем
-щ- = zZ + (W(1) + 2И7<2)г + (rn - 1)И/("1"1)г1""2)zZ -)-
+ + • '' + ?*"z" + +
s
m-l , , "n-l , .
, Г1 Г1 r . . " . , VI аИ''(г) r
*r ^ 12 g2 (?/si2i i •••¦+¦ qm2n ~ Zs) r gg 2 •
8 r=l S Г=1
Если сюда подставить значения функций Z, Zs, то получим = [1 j- W7(l) +
2Wwz + ... -i- (го - 1) W(m_1)zm-*] X
(gzm + Pwz -!- ... -!- P("'-l)Z"'-i + R) +
(Qsizi t • • ¦ r 9en2" "5" Zs)
m-l ,
HZ2' Т!Г<""М + "¦
s "*=X
m-l . .
avy(r)
ae
r=l
Сравнивая это выражение с желаемым видом этой полной производной, получим
для определения функций W, такие
уравнения
9W . , , ч "/.2 , , ,2ч
~~$2. 4" * * ' i gsn2n) (3Х Г * * * г
s 3
aw(r) , a^(r> / I \ t р(>) ,
ae ' Z-j ~К~ '' ' 1 г
, v />(1) эту(,~1) > j- р<г-1) эту(1)А = о ^Zjr* ч
......................................... * I
