Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда мы должны заключить, что характеристическое уравнение задачи о
продольной устойчивости нейтрального самолета на прямолинейном пути при
сделанных допущениях всегда имеет один нулевой корень. Пусть другие корни
имеют отрицательные вещественные части, а посему удовлетворяются
неравенства Гурвица
Вопрос об устойчивости должен разрешаться по методу Ляпунова с учетом
членов более высокого порядка малости. Предварительно следует заметить,
что для практического вычисления постоянной g, введенной в п. 48, 49, нет
необходимости непремен-
X
cos 8 - 2с V - тХ
ди к
дФ'
АНАЛИЗ РАЗЛИЧНЫХ СЛУЧАЕВ
111
но полностью вычислять функции и,; достаточно в этих последних определить
члены не выше (т - 1)-й степени х.
В рассматриваемой задаче линейный интеграл х для уравнений в вариациях
есть
дс
(r) ды *
Чтобы получить простые вычисления, исключим переменную ? и будем
рассматривать полную систему дифференциальных уравнений возмущенного
движения в переменных х, xi - х.г - tj, х3 - Имеем
J*fL = X = ст (а + х2.ы + х3) (v + хх)2 - v*xz.
Нас интересует выражение
Z<°> = X (х, v 4- "[, а 4- "л м + и3).
Приравнивая нулю правую часть дифференциального уравнения для х3, имеем
ст (а 4- иг, ы 4- и3) = 0.
Пусть для нейтрального самолета уничтожаются все произ-
д\п { вз-
водные до порядка р - 1 включительно, а производная
да? да?
отлична от нуля.
Из последнего уравнения имеем
1 да?
р
pi дс • >1
"2
дш
Следовательно,
Z(0) = ст (а + и2, со + и3) (v 4- и ,)2 - ^ V!u3 = - J и* + ...
Если и2 - Аа4 4* • • то степень т наинизшего члена gxm в разложении
функции Z(0) в ряд по возрастающим степеням х есть т - pq, а коэффициент
А" Ар
Г'- да?
Для устойчивости невозмущенного движения степень т должна быть нечетной,
а постоянная g - отрицательной; поэтому числа р и q должны быть
одновременно нечетными и должно иметь место неравенство g < 0.
112
ГЛ. 7. СЛУЧАИ С ОДНИМ НУЛЕВЫМ КОРНЕМ
Наинизшие члены функции и2 определятся из системы уравнений
<?Ф О О \ ( д°,
( ** cos р - 2cwv) еЛ "*,, + ^?Ф_ * = о,
т V2 00)
дФ • о , о 'l ( дса , \ о , т8 sin ф п
- sinp + 2carj Ml - ^_^cjr2u2 + -^ У-х = 0,
откуда
/ дФ ' \ f дФ
\-fo~ cos Р - 2cwv) siQ Ф + sin Р -г 2сау
С? (О
COS ф
mg
дс
m
*
дф \( д6а \ / дф \( дси,
cos р - 2cmp I (¦- с J -f (¦sin р + 2саг I
Когда А положительно, что имеет место для самолетов х), если
удовлетворены предыдущие неравенства, то последнее условие
устойчивости принимает вид -- <^ 0, р - нечетно.
дар
51 [30, 31]. Нам осталось рассмотреть случай, когда Z<0), Zi0)
уничтожаются тождественно. Тогда уравнения (27) допускают очевидное
решение
х = с, zx = 0, . . ., zn = 0,
зависящее от произвольной постоянной с.
Сделаем подстановку
X = С + Z,
разумея под с произвольную вещественную постоянную, абсолютная величина
которой не должна только превосходить некоторого достаточно малого числа.
Получим
Zs = cslzx + . . . + csnzn + Ziz (s = 1, . . ., n),
где csr будут голоморфными функциями постоянной с, уничтожающимися при с
- 0, а Zs будут голоморфными функциями переменных z, zlt . . ., z",
разложения которых начинаются членами не ниже второго порядка и обладают
голоморфными относительно с коэффициентами. Такой же получится и функция
Z - CjZj -j- cnzn -j- Z'.
*) Это дополнение к изложенному из моих лекций по устойчивости самолетов,
сделавшее беспредметным рассмотрение случая А < 0, выполнил Е. П.
Гроссман (Гроссман Е. П. Продольная динамическая устойчи-
вость нейтральных самолетов // Тр. ЦАГИ.- 1935.- № 217).
АНАЛИЗ РАЗЛИЧНЫХ СЛУЧАЕВ
ИЗ
Рассмотрим уравнение в частных производных
((Psi + csl) 2I + • • ¦ + {Psn + csti) 2n + %s) =
= c1z1 -(-••• + Cnzn -j- Z' и будем искать для него голоморфное решение
вида
2 = 2 VU
i=1
где Vi обозначет форму степени i относительно переменных. Для определения
форм Vt сравнение однородных членов даст следующую систему уравнений:
/ , [(psi + csl) 21 + • • • + (Psn + сsri) zn] -Jf- - Uh
J"
нде Ui будут представлять известные однородные формы переменах zx, . . .,
zn степени г, зависящие от форм Vj с указателем /, Re превышающим г - 1.
Вследствие нашего допущения, что все дорни уравнения А (X) = || р(} -
6,ХА. || = 0 обладают отрицатель-сыми вещественными частями, при с, по
абсолютной величине до-таточно малом, все корни уравнения D (Я) = || ри +
с1} - - 8ijk || = 0 также будут иметь отрицательные вещественные части.
При таком с условия теоремы п. 34 будут удовлетворены, и, следовательно,
последние уравнения однозначно определят все F, в порядке возрастания,
индекса г. Все коэффициенты в формах F; будут голоморфными функциями
постоянной с при достаточно малых абсолютных значениях последней.
Отсюда заключаем, что
X - С -|- Z (zx, . . ., 2", с)
представляет некоторый неразрешенный относительно постоянной с интеграл
системы (27), и, следовательно, им можно заменить первое из
дифференциальных уравнений этой системы. Тогда прочие уравнения системы
приведутся к виду
~jf~ = (Psi + csl) 21 + • • • + (Psn + csn) zn + Zs, (28)
