Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
s s
При таком, в рассматриваемом случае всегда возможном, выборе функций
Е/<", W имеем
-?L=.g(x(tm) + zl+ ... + zl) + S,
где
5 - wxm + ^WijZiZj, ij
w, w,j обозначают голоморфные функции переменных х, zx, . . ., zn,
уничтожающиеся, когда последние все делаются нулями.
Функция V, как не зависящая от t, допускает бесконечно малый высший
предел и при подходящем выборе сколь угодно малых по абсолютной величине
х, z1? . . ., zn может принимать значения любого знака. Ее производная
является при этом знакоопределенной знака, совпадающего со знаком
постоянной g. Следовательно, по теореме Ляпунова (п. 13) невозмущенное
движение является в этом случае (тп - четное) неустойчивым. Теперь
допустим, что т есть нечетное число.
Функцию V будем искать вида
V - -j-x2 + Uwx2 -------+ U{m~1)xm + W,
где ?/<*> - линейные, а W - квадратичная формы переменных z,.
108
ГЛ. 7. СЛУЧАЙ С ОДНИМ НУЛЕВЫМ КОРНЕМ
Имеем
= gxm+l + ртх2 + [_ р(т-1)хт + xQ + xR
m-1 m-1
+ (г + 1)^<r>*rz + [Ps'zi + Ь л"1*" +
Г=1 Г-1 в s
т-1 \
+ ? pv>*• + z;) + ? ^ <йл +. .. + р" ,"+ Z.,.
i - 1 s 8
Выберем квадратичную И7 и линейные ?/<г) формы последовательно (г = 1, .
. т - 1) согласно уравнениям
?-гГ<л* + ---+л*)+ 2 ?*?¦#>+р"-ь
$ 8 a+p=r s 8
-|r + • • • + PanZ") = g (z! н h 4).
5
Это всегда возможно, так как все корни полинома А (к) = || р8). - - 8srk
|| имеют отрицательные вещественные части (п. 34). При таком выборе U<г),
W
¦§- = ?(zm+1 + zl+... + zl) + S,.
где
S = ram+1 -f 2VijZiZj,
ij
v, vtj обозначают некоторые голоморфные функции переменных х, zt, . . zn,
уничтожающиеся, когда последние делаются все нулями. Производная
является знакоопределенной функцией;
ее знак совпадает со знаком постоянной g.
Если при этом g положительно, то из-за того, что подходящим выбором
значений переменных х, zlt . . ., z" функцию V можно сделать
положительной или, другими словами, одного знака со - W т
знаком производной выводим, что невозмущенное движение
неустойчиво.
Если g отрицательно, то из-за того, что квадратичная форма W будет (п.
35) при этом определенно-положительной относительно z1? . . ., zn,
выводим, что функция V будет определенноположительной относительно всех
переменных х, zlt . . ., zn и, как не зависящая явно от t, будет
допускать бесконечно малый высший предел. На основании теоремы Ляпунова
об асимптотической устойчивости (п. 12) заключаем, что в этом случае
невозмущенное движение является устойчивым, а всякое достаточно близкое
возмущенное движение стремится к нему асимптотически.
АНАЛИЗ РАЗЛИЧНЫХ СЛУЧАЕВ
109
Итак, невозмущенное движение будет неустойчивым, если т есть четное число
и если т нечетное, a g положительно', если т есть нечетное число, а
постоянная g отрицательна, то невозмущенное движение асимптотически
устойчиво.
50. Пример. Рассмотрим задачу, которая в известном смысле может являться
приближением для задачи об устойчивости прямолинейного полета
нейтрального самолета по отношению к продольным движениям.
Самолет, летящий в воздухе, представляет совместно с воздухом
механическую систему, состоящую из твердого тела и сплошной среды. В
практических исследованиях такую систему обычно упрощают и рассматривают
один самолет, находящийся под действием заданных ускоряющих сил. Мы будем
предполагать, что эти ускоряющие силы явно не зависят от времени и от
координат центра тяжести самолета, по крайней мере для всех возмущенных
движений, достаточно близких к рассматриваемому прямолинейному полету
самолета в однородной, спокойной атмосфере.
Пусть т - масса самолета; v - скорость его центра тяжести G; J -
центральный момент инерции; <р - угол, образуемый скоростью v с
горизонтальной плоскостью; 0 - угол хорды крыла с горизонтальной
плоскостью; а = 0 - <р - угол атаки. Пусть тяга винта Ф (v, со) проходит
через центр тяжести G, имеет постоянное направление относительно самолета
и составляет угол Р со скоростью v. Подъемную силу, силу сопротивления и
результирующий момент (относительно центра тяжести) обозначим через cavl,
cwv2 и cmiА Будем считать, что ст не зависит от v и от угла 0, когда
переменными задачи выбраны v, а, 0, 0' = ю. Для простоты положим, что са,
cw зависят только от а.
Естественные уравнения продольных движений самолета в его плоскости
симметрии суть
Будем рассматривать установившийся прямолинейный полет, в котором
переменные v, а, 0 имеют постоянные значения, удовлетворяющие уравнениям
Обозначая соответственно через ?, ц, ?, вариации переменных v, а, 0, 0',
имеем следующую систему дифференциальных
i i р - mg sin ф - cwv2,
т х р - mg cos ф + cav2,
Ф cos Р - mg sin ф - cwv% = 0, Ф sin Р - mg cos ф 4- cav% = 0,
110
ГЛ. 7. СЛУЧАЙ С ОДНИМ НУЛЕВЫМ КОРНЕМ
уравнений в вариациях (ц - 6а = 6р):
Мы будем заниматься задачей устойчивости установившегося прямолинейного
полета для нейтрального самолета, т. е. такого, который в рассматриваемом
невозмущенном движении обладает свойством
Характеристическое уравнение при этом будет
