Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
СЛУЧАЙ С ОДНИМ НУЛЕВЫМ КОРНЕМ
Вспомогательное преобразование
48 [28]. Пусть характеристическое уравнение имеет один корень, равный
нулю, при прочих с отрицательными вещественными частями. В этом случае
уравнения первого приближения имеют один линейный интеграл, очевидный из
их канонического вида п. 30. Принимая этот интеграл х за переменную, мы
приведем уравнения возмущенного движения к виду
dx v dt dx
-Jf = PsA -[-¦¦• + Psnxn + psx + Xs (s = 1, . . ., n),
где X, Xs суть голоморфные функции переменных х, xv . . ., хп,
начинающиеся с членов не ниже второго порядка; постоянные psj таковы, что
уравнение!
д W = 11 Ps) - б,АII = 0 имеет все корни с отрицательными вещественными
частями.
Обозначим через Х°, X" значения функций X, Xs, когда в последних все
переменные xlt . . ., хп положены равными нулю. Путем простого
преобразования всегда можно добиться, чтобы наи-низшая степень х в
функции Х° была не выше таковых для функций Х", если Х°, X" не равны
тождественно нулю, и чтобы все постоянные ps были нулями.
Действительно, рассмотрим следующую систему уравнений:
Pslxl + . • • + Psnxn + Psx + Xs = 0 (s = 1, . . ., n).
Эта система уравнений удовлетворяется нулевыми значениями переменных х,
хх, . . ., хп. Ее функциональный определитель относительно переменных хх,
. . ., хп для нулевых значений х, хг, . . ., хп отличен от нуля и равен А
(0). Поэтому существует решение
xs = us (х) (s = 1, . . ., п),
АНАЛИЗ РАЗЛИЧНЫХ СЛУЧАЕВ
105
где и3 суть некоторые голоморфные функции х, уничтожающиеся, когда
переменная х равна нулю.
Если в исходной системе ps и Х3 суть нули, то решения иа будут также
нулями. Но в этом случае система, удовлетворяя желаемым свойствам, не
требует дополнительного преобразования. Если этого нет, то введем новые
переменные zlt . . ., zn согласно равенствам
X. = Z. + us.
Преобразованная система будет иметь вид
гг
~dt ' dz
РлЧ + • • • "Г Psn^n т 2S (s 1, . . •, Tl),
(27)
где Z обозначает функцию X после подстановки xs = zs + us, a Z,
обозначает выражение
du
Pslul + ¦ • • + Psnun + Psx + X
после той же подстановки. Обозначая через Z°, Z\ значения функций Z, Zs,
когда переменные zs все положены нулями, и принимая во внимание
уравнения, определяющие us, выводим соотношения
Z" = -^Z",
из которых следует, что в разложениях Z(r) по степеням х не будет членов,
степень которых была бы ниже наинизшей степени в разложении Z0 по
степеням х. Если Z0 тождественно равно нулю, то такими же будут и Z?. При
указанном преобразовании задача устойчивости по отношению к х, хх, . . .,
хп равносильна задаче устойчивости по отношению к xlf zx, . . ., zn.
Поэтому при анализе устойчивости возможно исходить из уравнений (27).
Анализ различных случаев
49 [29]. Вначале рассмотрим случай, когда наинизшая степень х в
разложении Z0 есть четное число. Пусть для начала это число есть 2:
Z = gx* + Рх + Q + R,
где Р - линейная, a Q - квадратичная формы переменных zx, . . . . . zn; R
не имеет членов ниже третьего измерения; g - постоянная.
Рассмотрим функцию
V = х + Ux + W,
106
ГЛ. 7. СЛУЧАЙ С ОДНИМ НУЛЕВЫМ КОРНЕМ
где U - линейная, a W - квадратичная формы переменных zlt . . zn. В силу
уравнений (27) имеем
__ gX% _j_ рх q r _)_ и z 4-
+ Х ^ (Psl%l + • ¦ • + Р"п*п -Ь Zs) +
S 8
1 V1 dW i
/ , gz (Pal^l + •••-! Psn^n 4" Z,).
" 5
Неопределенные пока функции U, W определим так, чтобы
^ 4 + + Р =
S
^¦^-(Рв!*! Г • • • + Рвп*п) + Q = g(Zl + ¦ ¦ ¦ + 2,!).
s e
Из п. 34 заключаем, что такое определение U, W всегда возможно, так как
все корни полинома А (к) = || psr - 8srk || имеют отрицательные
вещественные части. При таких U и W имеем:
- g (х- 4- Z\ + . . . 4- 2п) -j- S,
где S имеет порядок наинизших членов, по меньшей мере 3. Производная
представляет знакоопределенную функцию знака, совпадающего со знаком
постоянной g; V не зависит явно от t, а потому допускает бесконечно малый
высший предел. Функцию V можно сделать одного знака с g, а это в силу
теоремы Ляпунова о неустойчивости (п. 14) доказывает, что в этом случае
невозмущенное движение является неустойчивым.
Рассмотрим теперь общий случай:
Z = gxm + Р^х + . . . + + Q + ft,
Zs = l>ll)x + ... + + Zl,
где P(,), Pj0 - линейные, a Q - квадратичная формы переменных 215 . . .,
гп;
R = vxm 4- 2 VijZiZj, Zs = //sh-"' + VifziZj,
ij ij
где v, v(°\ vu, v\f обозначают голоморфные функции переменных х, Zy. . .
., 2П, причем v, Vyj уничтожаются, когда последние все делаются нулями.
Если тп представляет четное число, рассмотрим функцию
V = х 4 U(1)x + . . . 4- хт~г 4- W,
АНАЛИЗ РАЗЛИЧНЫХ СЛУЧАЕВ Ю7
где L,(i) - линейные, a W - квадратичная формы переменных za. Имеем
согласно уравнениям (27):
т -I
<Я- = gxm + р^х + f- + Q + R + rf/('V-1Z +
г-1
in-1 m -1
+ [p,l2! + • • • -Г Рз"2" + ^ + Z's j +
Г=1 8 i=l
т- 1
Функции t/<'>, W определим последовательно (г = 1, . . т - 1) согласно
уравнениям
"'•*+ • ¦ •+^ + S И^Р1"+р,г> - "•
s *¦ a-fjj"'1 s
-fc- (Pslzl + • ¦ • + Psnzn) + Q = S (2* + • • • + 2n).
