Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
М.: Гостехиздат, 1950.
КРИТИЧЕСКИЕ СЛУЧАИ
101
Пусть функции фц . . фт определяются последовательно из уравнений
фа ~ zs'zj "Т ф"4-1
при условии
фт+1 = 0.
Если принять Z, = 2гв+1ф3+1 - zg/*, где f, имеют знакоопре-деленные
вещественные части, то определенно-положительная функция (pj будет иметь
полную производную по времени
фг = zizi (/1 + 7i) 2фг22га (/а 7а) • • • 2т *ф2 . . .
• • • фmVm (/т + 7 т)
определенно-положительной или определенно-отрицательной в за-висимости от
того, будут ли функции Re /, все определенно-отрицательными или они будут
определенно-положительными. Невозмущенное движение будет в первом случае
неустойчивым, а во втором случае асимптотически устойчивым. Таким
образом, члены более высоких порядков могут упрочнять неустойчивость
первого приближения, существующую за счет вековых членов в решении
уравнений в вариациях.
Если функции X, стеснены некоторыми структурными ограничениями, то вопрос
об устойчивости в некоторых случаях разрешается первым приближением,
несмотря на наличие критического случая. Например, если уравнения
возмущенного движения имеют форму канонических уравнений Гамильтона, то
устойчивость равновесия будет иметь место, если в функции Гамильтона
наиниз-шие квадратичные члены представляют знакоопределенную функцию.
47. Доказанные теоремы об устойчивости по первому приближению позволяют
непосредственно разрешать также вопросы об устойчивости при возмущающих
силах, если последние дают в дифференциальных уравнениях возмущенного
движения (23) члены не ниже второго порядка малости. Обстоятельство это
практически весьма важно, так как наиболее часто встречающиеся в технике
задачи об устойчивости предполагают существование не только отклонений от
начальных значений переменных, но и существование некоторых возмущающих
сил, неопределенных в малых членах.
Зададимся целью оговорить в доказательстве, предложенном для теоремы об
устойчивости по первому приближению (п. 43), те свойства функций Xs,
какие только и были в нем использованы.
Введем ту же функцию. Если все корни характеристического полинома А (X)
имеют отрицательные вещественные части, то уравнение
102
ГЛ. 6. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
имеет решение в виде определенно-отрицательной квадратичной формы V (п.
34, 35). Имеем:
V' = х\ + . . . + xl" + ^
8
Обратимся теперь к доказательству теоремы п. 8 об устойчивости и
собственно к способу Ляпунова, предложенному для построения числа Я по
заданному числу А. Определим также те стеснения, которые достаточно
наложить на функции Xs, чтобы это построение числа Я по заданному
достаточно малому числу А было не зависящим от численных значений Xs.
Наша функция V не зависит от t и является определенно-отрицательной.
Пусть I есть точная низшая граница ее абсолютных значений на сфере (Л)
2 х; = А.
Для положительного I найдется, по свойству допускающей бесконечно малый
высший предел функции V (п. 7), такое отличное от нуля число Я. что при
2 < *
S
будет выполняться неравенство
I V | < L
Выберем начальные возмущения xs0 согласно неравенству
2^2<я.
Из соотношения
t
V - F0 = j) F' dt (24)
выводим, что если в области 2** А функции Xs будут стеснены неравенствами
I X. | < Я, (25)
то
m < I г, | < j. (26)
В самом деле, при А столь малом, чтобы при условии 2х2 было удовлетворено
неравенство
при сделанных предположениях (25) о функциях Х" для значений переменных
х" удовлетворяющих условиям
я <2*2<л,
КРИТИЧЕСКИЕ СЛУЧАИ
103
будем иметь
\dV v _ VI ,1 ,
0
независимо от числовых значениЗ XИз последнего же неравенства и
соотношения (19) непосредственно следует неравенство (21), а тем самым и
следующее:
<л,
так как I есть точная низшая граница абсолютных значений V на сфере (Л).
Если для произвольного положительного числа А, сколь бы мало оно ни было,
функции Xs могут быть стеснены неравенствами (25), где К обозначает
число, построенное по описанному способу Ляпунова, то невозмущенное
движение будет устойчивым независимо от численных значений Xs.
В приведенном анализе следует отметить способ находить для заданного
положительного числа А, меньшего Н и удовлетворяющего условию 1 - ^ j ]>
0 при ^ xl < А, с помощью функции
V положительного числа А., обладающего своЗством: если начальные значения
xSt и функции Хя стеснены неравенствами
1^*10 (s = 1,...,Л),
то во все последующее время значения переменных хя будут удовлетворять
неравенству
5 а?< А.
6
Развитием приведенного анализа мы заниматься не будем х).
*) Вопросами об устойчивости при постоянно действующих возмущениях
занимались Г. Н. Дубошин, Н. А. Артемьев и И. Г. Малкин. См.: Д у б о-шин
Г. Н. К вопросу об, устойчивости движения относительно постоянно
действующих возмущений // Труды ГАИШ,- 1940.- Т. 14, № 1; А р т е и ь-е в
Н. А. Осуществимые движения // Изв. АН СССР. Сер. мат.- 1939,- №3; Малкин
И.Г. Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях // Прикл. мат.
и механ.- 1944.- Т. 8, № 3.
ГЛАВА 7
