Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Четаев Н.Г. -> "Устойчивость движения " -> 42

Устойчивость движения - Четаев Н.Г.

Четаев Н.Г. Устойчивость движения — М.: Наука, 1965. — 176 c.
Скачать (прямая ссылка): ustoychivostdvijeniya1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 63 >> Следующая

s S
V*! ^
(Р"Л + • • • + PsnXn) - = >мт + Qm,
s 8
где Рт, (>т - однородные функции х1г . . хп степени т, зависящие от щ, vk
(к < т).
Допустим, что все функции ик, ин (к < т) определены. Тогда, сохраняя
обозначения п. 34, будем искать ит, ит в виде
l*m 2 АТЪ г, Hm 2 BrUr,
функции Рт, ()т при ЭТОМ будут известными функциями Xj, . . .
. . Хп:
Pm = JiPfUr, Qm = '2iqrUr.
Подставляя эти значения в предыдущие уравнения, получим для определения
постоянных Аг, Вт систему алгебраических линейных неоднородных уравнений
Ат (тп+ .. . + mnx") f 2 Р>8)Л = - квт + Рг,
S
Br (m-j- • • • -г тпКп) ~г S Рг = ЪАГ -f- gr,.
где т1? . . тп - какие-то неотрицательные целые числа, даю-щие в сумме т;
хх, . . ., х" суть корни уравнения jj - 6i7x [| = = 0; суть некоторые
неположительные постоянные, когда г <; s, и нули, когда г ^ s.
Определитель этой системы уравнений есть
D ---¦= П [{т^ + • • • + mnx")2 + Щ.
Так как согласно предположению все корни xs имеют отрицательные
вещественные части, то ни для каких неотрицательных чисел Щ, . . ., тп,
дающих в сумме т, выражение т+ • • • + тпип не может равняться +A,i;
следовательно, определитель D не обращается в нуль и из последних
уравнений постоянные Аг, Вг будут определяться однозначно.
Пусть
X = и - и.2 -f Us -f . . ., у = V = У2 4- Ь'з 4- ...
суть найденные указанным путем решения. Вводя вместо переменных х, у
переменные х, у
х = и х, у = v у,
118
ГЛ. 8. ПАРА ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЯ
преобразуем заданные уравнения к виду, в котором члены X, Y будут
уничтожаться, когда ?, у делаются нулями.
Поэтому мы предположим, что при составлении уравнений (29) выполнено
указанное преобразование (если в нем была надобность) и что,
следовательно, функции X и Y уничтожаются, когда х, у делаются нулями.
54 [33]. Вместо переменных х, у введем полярные координаты г, 0:
х = г cos 0, у = г sin 0.
Будем иметь
= X cos 0 -)- У sin 0. г - кг + У cos 0 - X sin 0.
Из допущения, что X, Y уничтожаются, когда х, у делаются нулями, выводим,
что правые части последних уравнений уничтожаются, когда уничтожается г.
Поэтому после сокращения на г второе уравнение дает
^Г = ^ + 0'
где 0 обозначает голоморфную функцию переменных г, х1, ... хп,
уничтожающуюся при одновременном равенстве последние нулю и имеющую в
своем разложении коэффициентами целые рациональные функции от sin 0 и cos
0. Из этого уравнения видно, что пока величины | г |, | х* | не
превосходят некоторых постоянных, 0 будет непрерывной возрастающей
функцией t. Отсюда ясно, что при решении задач об устойчивости переменная
0 может играть такую же роль, что и t. Примем ее за независимую
переменную вместо t. Тогда
dx
Sg- = 4,ixi + • • • + -Г К cos 0 + Ъа sin 0) г + Qs,
(30)
где R, Qs обозначают функции такого же характера, как и 0; при этом
функции Qs в своих разложениях не будут содержать членов ниже второго
измерения относительно величин г, xs;
_ psr " h -h.
Qar ^ ^ r °a ^ •
Первое из уравнений (30) показывает, что если начальное значение г есть
нуль, то г будет равным нулю для всякого 0. Следовательно, г будет
сохранять знак своего начального значения по крайней мере до тех пор,
пока величины г, xs остаются все достаточно малыми по абсолютной
величине. Мы будем предполагать, что г не получает отрицательных
значений.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ 119
55 [34, 351. Для решения задачи уравнения (30) придется подвергнуть
некоторому преобразованию, какое находится в связи с вопросом о
возможности для них периодического решения
Г - С -j- lt<2)C2 4* u<3>c3 + . . .,
Xs -= u^c -r i42)c2 + l43)C3 + . . ., ^ ^
где с - произвольная постоянная, а - не зависящие от
нее периодические функции 0 с общим периодом 2я. Такое перио
дическое решение не всегда будет возможно.
Для определения функций i4K'\ t4fc) сделаем подстановку (31) в систему
дифференциальных уравнений (30) и сравним коэффициенты при одинаковых
степенях с. Получим
du(k) гТос)
<10
Ли(tm)
Qsiui * "Ь • • • -r Qsnu\P 4" (ascos (r) "Ь bs sin 0) -f- Us \
<10
где L/W, Uih) суть известные целые рациональные функции от тех для
которых р < ft, с коэффициентами, представ-
ляющими целые рациональные функции от sin 0 и cos 0; при к - 1 все
функции U суть нули; к = 1,2,...
Функции г/,1' всегда будут периодическими вида
иj1* = cos 0 -f- Bs sin 0,
где Ая, Bs - некоторые постоянные. Наиболее просто это можно доказать
через приведение уравнении для щ 1 к каноническому виду (п. 30)
А*к>
<10
х,4к) - OgVs^l + (as cos 0-f-bs sin 0) u': 4 Ff \
где ^ . . ., (//i* - канонические переменные, а постоянные a's, 6' суть
линейные комбинации коэффициентов as, 6,; новые F,fJ будут также
известными целыми рациональными функциями от тех "<•*>, v^\ для которых
jj. <1 А:, с коэффициентами, представляющими целые рациональные функции
от sin 0 и cos 0; при этом все Fs(1) равны нулю; х1? . . ., хп являются
корнями уравнения
!( Чи - 6и* II = 0,
постоянные ст., суть либо нули, либо 1; = 0, s 1, . . ., п;
ft - 1, 2------
Из этих уравнений имеем) е
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 63 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed