Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
так как при определении коэффициентов а, Ь в рядах а*т), у(т> мы встретим
особенность (в виде возможности появления вековых членов) только
для членов, содержащих синус или
косинус первой кратности т. Для полного определения всех коэф-
фициентов разложения х(т), у(т) нужно будет использовать условия x<m> (0)
=0, y<m> (0) = 0.
Если для некоторого значка т условие Ах + В2 = 0 не выполняется, то
искомые решения невозможны. Можно показать, что в таком случае число т и
постоянная
а ~Ь Да
6 2
были бы те самые, с которыми мы имели дело в предыдущем параграфе.
126
ГЛ. 8. ПАРА ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ
На других возможных способах определения знака постоян ной g
останавливаться не будем.
58. Пример. Пусть дифференциальные уравнения возмущенного движения
приводятся к одному уравнению следующего вида:
где F есть голоморфная функция указанных аргументов, не со держащая в
своем разложении членов ниже второго порядка
относительно величин х и х' - -^-,по отношению к которым ста
вится вопрос об устойчивости невозмущенного движения (х О,
Г' =: 0).
В функции F выделим члены с нечетными и четными степенями скорости х'
F - ax'f (х, х'г) г g (х, х'2).
где /, g - голоморфные функции своих аргументов; / не содержит членов
ниже первого порядка, a g - ниже второго порядка относительно х. Будем
предполагать, что функции / и g не зависят от постоянной а, а наинизшая
форма jk (х, х"*) в разложении / =¦¦
- fa г //,+1 г . . . является положительной. Задача эта представляет
известный интерес; к ней приводятся некоторые практические вопросы и, в
частности, вопрос об устойчивости положения равновесия (х - 0)
механической системы, находящейся под действием понятной из уравнения
обобщенной силы.
Делая
.г == г.sin 9, х - rcosO, выводим из нашего уравнения
¦Ж " д>г! + й"г' + " • ¦
где все R означают функции одного 9. При этом все функции
R2, Rs, .... Rk< Rkkl - a cos2 9/,; (sin 9, cos2 9)
не будут зависеть от постоянной а. Поэтому при отыскании решения
последнего уравнения под видом ряда
Г -- с + и.,с- + U3C3 -j- . . .,
расположенного по восходящим степеням произвольной постоян ной с, все
функции
е
u2i и3, . . ., ик, ul;+l - а \ cos2 9/к (sin 9, cos2 9) d9 о
получатся не зависящими от а.
КРИТЕРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ
127
Но если бы а было нулем, то предложенное уравнение допускало бы не
зависящий от t голоморфный интеграл, в котором совокупность членов
наинизшего измерения будет х2 ф х"г. Действительно, из получающегося при
этом после исключения t уравнения
в котором правая часть 2g {х, х'2) - ф (х, хг х'2) представляет
голоморфную функцию величин х И х"г - х2, в силу известной теоремы найдем
х2 ¦ х'2 = с ф (х, с), где ф будет голоморфной функцией х и 7,
уничтожающейся при х - 0; с представляет значение х'2, когда х есть нуль.
Последнее же уравнение непосредственно обнаруживает существование
интеграла указанного характера.
Достаточно малые по абсолютной величине значения этого знакобнределенного
интеграла будут отвечать некоторым замкнутым орбитам в плоскости х, х*,
или некоторым периодическим решениям заданного уравнения при а = 0. В
существовании этих периодических решений возможно убедиться также
непосредственно, так как уравнения для х и х' не изменяются при замене t
на -t и х' на -х'.
Поэтому интересующие нас не зависящие от а функции
все будут периодическими, и, следовательно, если а не нуль, постоянная g
найдется по формуле
2Я
Если Д. положительно (к - четно), то при а )> 0 невозмущенное движение
неустойчиво, а при а <С 0 - устойчиво.
Можно заметить, что устойчивость невозмущенного движения при а = 0
очевидна, так как указанный выше знакоопределенный интеграл удовлетворяет
условиям теоремы Ляпунова об устойчивости.
Пример. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
о
о
dx dt dy dt dx j
IF
= -x1 + (x2+ y2).
X -
У Y {x2 + yz) X.
-f-O*2 + y2) y,
128
ГЛ. 8. ПАРА ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ
Исследование будем вести согласно п. 57. Делая
t - t0 = (1 + h2c2 + h3c3 + . . .) т,
будем искать периодическое решение в виде рядов, расположенных по
восходящим степеням произвольной постоянной с,
X = ?(1)С + Х(2)С2 + . . .,
у = yWC + у(2>С2 -f . . .,
хх = xi1)C + Х(2)С2 + . . .
Описанным в п. 57 последовательным; процессом определим ?(1) = COS Т,
f/W = sin Т, я)1* = О,
xi2) = 0 у( 2) = 0) хт =
а для ,г<3>, получим следующие уравнения:
dx(r) 1 ¦ а
-з- = - iAs> - ft" sin---------------------т-------------------s-
cos т,
dx J 2 2
du(3) . i a
- X(3) + /?2 COS T--s-Sinr,
dx ~ ~ 1 " 2 1 2
из которых, кроме невозможности искомого периодического решения при
отличном от нуля а, для постоянной g получается равенство g - -rf- ¦
Следовательно, невозмущенное движение будет
устойчивым при положительном а и неустойчивым при отрицательном а.
Следует привести одно замечание Ляпунова. Вопрос об устойчивости по
отношению к переменным х, у разрешается непосредственно теоремами
Ляпунова п. 8, 13 и рассмотрением функции V = х2 + у2. Однако было бы
