Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение
дх~ (Psixi н Ь Р"пхп) = 2xF • • xi ....; • xf,
может быть согласно теореме Эйлера об однородных функциях
записано следующим образом:
дх~ + • • • (Pss - X) • • • + PatAi] = 4 t • ¦ ¦ т Хп-
Уравнение это - изученного типа; характеристическое уравнение. связанное
с ним,
А (р) = II Psr - Ssr (х + р)|| = О
будет иметь корнями величины
Pj - X,
из которых по меньшей мере рх будет иметь положительную вещественную
часть. Какими бы корни ни были, всегда можно найти такое х < Re Л.х, что
ни для каких неотрицательных тг, . . . . . ., тп, имеющих в сумме 2, не
будет уничтожаться выражение
тх%г + . . . + тп%п - 2х.
А это значит, что функция V существует и ее соответствующим выбором
переменных xlf . . ., хп можно сделать положительной. Отсюда
= 2xF + (xl +----------+ Х*) *
В скобках стоит определенно-положительная функция независимо от Х". По
теореме Ляпунова непосредственно следует неусто i чивость.
Замечание. Предыдущие теоремы Ляпунова приложимы, конечно, не к одному
только случаю, когда Xs не зависят явно от t, ибо последнее
обстоятельство не играло особой роли в доказательстве. Коэффициенты р^1-
тп> в функциях Х3 могли быть непрерывными, ограниченными, вещественными
функциями t,
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
99
удовлетворяющими неравенствам
(m"..mn) ----М-----
Is I ^ ••+*""
А п
где А - некоторая положительная постоянная.
45. П р и м е р. В первом приближении дифференциальные уравнения
возмущенного движения регулятора с сервомотором имеют вид
ТЛ' - п - ? = о,
Пч -f г"тГ -ь Ьц + I = о,
ТЛ' -п = О,
где все коэффициенты при вариациях переменных машины |, ре. гулятора ц и
сервомотора ? являются положительными постоянными, известным образом
зависящими от конструктивных элементов системы.
Спрашивается, каким условиям должны удовлетворять эти коэффициенты, чтобы
была устойчивость при возмущении начальных значений переменных |, rj, ц',
? независимо от дальнейших членов второго и высших порядков в точных
уравнениях возмущенного движения. Аналогичные вопросы возникают всякий
раз, когда принятая наперед точность не позволяет строго доверять членам
выше первого порядка.
Согласно доказанным теоремам, чтобы существовала устойчивость по первому
приближению, характеристическое уравнение
TsTaT%4 + TaTkTsX3 + 6 ТаТЛ% + Т"Х + 1=0
должно иметь все корни с отрицательными вещественными частями, для чего
теорема Гурвица дает неравенства *)
6ткта > г? и т, (6ткта -П)> Тат\.
Пример. Гироскопическая стабилизация неустойчивого при одних
консервативных силах положения равновесия имеет временный характер, а
разрушение гироскопического упрочнения от действия диссипативных сил с
полной диссипацией не может быть изменено членами более чем первого
порядка в уравнениях возмущенного движения, так как первое приближение
допускает функцию Ляпунова со знакоопределенной и имеющей вид
квадратичной формы производной (п. 40). Поэтому гироскопическая
стабилизация вращательных движений снаряда является временной, пока на
систему не действуют диссипативные силы с полной диссипацией.
*) Вознесенский И. Н. О принципах и схемах автоматического регулирования
// Прикл. мат. и нехан,- 1942.- Т. 6.- (См. с. 109).
4*
100
ГЛ. 6. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
Критические случаи
46 х). Доказанные теоремы оставляют невыясненными случаи, когда некоторые
из корней характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные
части, в то время как другие корни имеют такие части равными нулю. Случаи
эти являются критическими в том смысле, что для них устойчивость и
неустойчивость не может быть выяснена рассмотрением одного первого
приближения.
В таких критических случаях дальнейшие приближения X, могут давать как
устойчивость, так и неустойчивость. Другими словами, функции Xs всегда
возможно бывает при этом подобрать так, чтобы имела место устойчивость
либо неустойчивость, по желанию .|
Не уменьшая общности, можно ограничиться рассмотрением одной группы
уравнений, отвечающей непростому элементарному делителю корня,
вещественная часть которого равняется нулю.
Пусть для начала рассматривается нулевой корень: dzi _ у
-2*-!+Zi (i = 2,...,m).
Рассмотрим функции фх, . . ., <рт, определяемые последовательно из
уравнений
ф* = Zs + ф" (s = т, та - 1, . . ., 1) при условии фт+1 = 0. Если
принять!
Zg - 2г8+1ф5+1 zg/s,
то определенно-положительная по построению функция фг будет иметь своей
полной производной по времени функцию
ф1 = -2Z]/j - 2^2Zj/2 - 23ф2ф34/з - • • • - 2 ф2 . . . фт^т/пн
определенно-отрицательную или определенно-положительную в зависимости от
того, выбраны ли все /g определенно-положительными или они выбраны все
определенно-отрицательными. В первом случае невозмущенное движение будет
асимптотически устойчивым, а во втором - неустойчивым.
Для пары чисто мнимых корней А, = рассмотрим группу
§ = ip*. + z"
dz.
Sf- = Фъ - Zj-X + Zy (/ = 2,. . ., m).
'j Ляпунов А. М. К вопросу об устойчивости движения // Сообщ. Харьк. мат.
о-ва.- 1893.- Т. 3//Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения.-
