Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
ошибочно полагать, что этим задача устойчивости будет уже потому
разрешена, что всегда можно найти единственные ряды xs = fs (х, у),
расположенные по целым положительным степеням х, у и не содержащие
постоянных членов так, чтобы формально удовлетворялись уравнения для xs
системы (29). В нашем случае уравнение
-Y х (х2 + у2)] у {х
У
2\ дх1
ду
= -Х1 + Х2 + у2 определяет формально удовлетворяющий ему ряд
(х2 + у2) + а (х2 -ь У2)2 + 1- 2-а2 (х2 + у2)3 +
+ 1-2-3-а3 (х2 + y2f +________
расходящийся при всяких отличных от нуля X и у.
59 [38]. В занимающем нас случае пары чисто мнимых корней, как мы видели,
решение вопроса об устойчивости связано с вон-
КРИТЕРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ
129
росом о возможности некоторого периодического решения для системы (30).
Но, к сожалению, все способы, какие можно предложить для решения
последнего вопроса приводят к цели только в случае, если на него должен
получиться отрицательный ответ. Если это периодическое решение
существует, то невозмущенное движение устойчиво.
Допустим, что как-либо нам удалось установить существование интересующего
периодического решения и тем самым существование и сходимость рядов (31).
Тогда преобразование
г = х + M<a>z<a> + u<3>z<3> + . . .,
X, = zs + vfpz + l42,Z2 + . . .
приведет к уравнениям вида (32), в которых будут уничтожаться функции
Z<°\ Z(s0>. Мы приходим к случаю, подобному рассмотренному в п. 51.
В этом случае система (32) имеет полное интегральное соотношение с одной
произвольной постоянной с:
Z-C + 25WC* (т,к = 1,2,...), (34)
т к
где Р(т суть однородные формы пг-й степени переменных zx, ...,zn, а
коэффициенты форм Р^ суть конечные ряды синусов и косинусов целых
кратностей 0.
Действительно, в уравнении, определяющем z,
' • • + <7snzn) -0^- + -^0- == zZ zs -gj- ,
S * S S
в правой части не будет членов, не зависящих от zs, так как Z(s0) суть
нули. Пусть результат подстановки z в правую часть представится в виде
т к
обозначает форму т-й степени переменных z" зависящую от тех P(j\ для
которых i + / < т + к.
Для определения форм получим уравнения
(<Zslzl + • • • + <7snzn) ---!---Щ- - - Qm}•
s
Предполагая, что найдены все формы Pf\ для которых i + / < < m + к, и что
они обладают описанными выше периодическими относительно 0
коэффициентами, замечаем, что Qlm представляет форму с такими же
коэффициентами. Отсюда для определения коэффициентов формы Р$ мы получим
неоднородную систему
5 Н. Г. Четаев
130
ГЛ. 8. ПАРА ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ
обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, у которой согласно
изложенному в п. 34 характеристическое уравнение будет иметь корнями
выражения вида - (тххх + . . . + тпхп), где ms - некоторые
неотрицательные целые числа, имеющие суммой т, a Xj, . . ., х" суть корни
уравнения || Яи - 6j;x |j = 0; известные члены будут периодическими
относительно 0. Такая система (из-за того, что все корни xs имеют
отрицательные вещественные части) всегда допускает (и только одно)
периодическое решение.
Указанным последовательным процессом определятся все коэффициенты и ряд
для 2. Докажем сходимость последнего для достаточно малых по абсолютной
величине с, гг, . . ., zn.
Систему дифференциальных уравнений для коэффициентов формы приведем к
каноническому виду (п. 30). Коэффициенты формы Р^т будут связаны с новыми
каноническими величинами А некоторыми формулами линейного преобразования,
вообще с комплексными и ограниченными по модулю коэффициентами. В
процессе последовательного определения коэффициентов А будем иметь дело с
уравнением
+ ("4*1 + • • • + тпхп) А - - В,
где В по формулам указанного линейного преобразования зависит от
коэффициентов формы и еще, быть может, от предыдущего А в виде
дополнительного слагаемого. В будет периодической функцией 0 с
ограниченным модулем.
Отсюда
оо
А = • + mnVe ^ е<т"*<+ - +mnVe# d0.
е
Из этого выражения для А следует, что мы получим некоторые высшие границы
для модулей коэффициентов форм годные
в равной степени для всех вещественных значений 0. Следовательно, 2 будет
голоморфной функцией величин zlt . . ., zn, с при достаточно малых
значениях последних и для всех вещественных значений 0.
Обратимся к нашей задаче. Заменим первое из уравнений (32) полным
интегральным соотношением (34). Остальные уравнения (32) после замены z
согласно (34) примут вид
^0 ~ (Яа 1 Csi) Zj -}-... -j- (</sn ~f- Csn) Zn -f- Zs,
где cST суть голоморфные функции постоянной с, уничтожающиеся, когда с
равно нулю, коэффициенты которых представляют вещественные периодические
функции 0; Zs суть голоморфные
КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ
131
функции величин zx, . . zn, с, разложения которых начинаются с членов не
ниже второго измерения относительно переменных zs и имеют периодические
относительно 0 вещественные коэффициенты. Все названные функции
голоморфны для всех вещественных значений 9.
Подобно п. 51 рассмотрим определенно-отрицательную квадратичную форму W,
определенную уравнением
